Theorem cnmpt1t 14872

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1t	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, K   x, L

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		toponuni 14602	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
3		mpteq1 4144	. . . 4 |- ( X = U. J -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
6		cnmpt11.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 14789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9		toptopon2 14606	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		cnf2 14792	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
12	1, 10, 6, 11	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
13	12	fvmptelcdm 5756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. U. K )
14		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
15	14	fvmpt2 5686	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ A e. U. K ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
16	5, 13, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
17		cnmpt1t.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
18		cntop2 14789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
20		toptopon2 14606	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
21	19, 20	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
22		cnf2 14792	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
23	1, 21, 17, 22	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
24	23	fvmptelcdm 5756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. U. L )
25		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
26	25	fvmpt2 5686	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ B e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
28	16, 27	opeq12d 3841	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
29	28	mpteq2dva 4150	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
30	4, 29	eqtr3d 2242	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
31		eqid 2207	. . . 4 |- U. J = U. J
32		nfcv 2350	. . . . 5 |- F/_ y <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >.
33		nffvmpt1 5610	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` y )
34		nffvmpt1 5610	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` y )
35	33, 34	nfop 3849	. . . . 5 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >.
36		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` y ) )
37		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` y ) )
38	36, 37	opeq12d 3841	. . . . 5 |- ( x = y -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
39	32, 35, 38	cbvmpt 4155	. . . 4 |- ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( y e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
40	31, 39	txcnmpt 14860	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
41	6, 17, 40	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
42	30, 41	eqeltrrd 2285	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   U.cuni 3864   |-> cmpt 4121   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   Cn ccn 14772   tX ctx 14839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-topgen 13207  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-cn 14775  df-tx 14840

This theorem is referenced by:  cnmpt12f  14873  imasnopn  14886  cnrehmeocntop  15197