Theorem cnmpt1t 15511

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1t	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, K   x, L

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		toponuni 15241	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
3		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( X = U. J -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
6		cnmpt11.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 15428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9		toptopon2 15245	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		cnf2 15431	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
12	1, 10, 6, 11	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
13	12	fvmptelcdm 5864	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. U. K )
14		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
15	14	fvmpt2 5792	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ A e. U. K ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
16	5, 13, 15	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
17		cnmpt1t.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
18		cntop2 15428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
20		toptopon2 15245	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
21	19, 20	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
22		cnf2 15431	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
23	1, 21, 17, 22	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
24	23	fvmptelcdm 5864	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. U. L )
25		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
26	25	fvmpt2 5792	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ B e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
27	5, 24, 26	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
28	16, 27	opeq12d 3912	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
29	28	mpteq2dva 4223	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
30	4, 29	eqtr3d 2273	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
31		eqid 2238	. . . 4 |- U. J = U. J
32		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ y <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >.
33		nffvmpt1 5709	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` y )
34		nffvmpt1 5709	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` y )
35	33, 34	nfop 3920	. . . . 5 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >.
36		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` y ) )
37		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` y ) )
38	36, 37	opeq12d 3912	. . . . 5 |- ( x = y -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
39	32, 35, 38	cbvmpt 4228	. . . 4 |- ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( y e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
40	31, 39	txcnmpt 15499	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
41	6, 17, 40	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
42	30, 41	eqeltrrd 2316	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   U.cuni 3935   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Topctop 15223  TopOnctopon 15236   Cn ccn 15411   tX ctx 15478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-topgen 13673  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-cn 15414  df-tx 15479

This theorem is used by:  cnmpt12f  15512  imasnopn  15525  cnrehmeocntop  15836