Theorem cnmpt1t 14464

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1t	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, K   x, L

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		toponuni 14194	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
3		mpteq1 4114	. . . 4 |- ( X = U. J -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
6		cnmpt11.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 14381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9		toptopon2 14198	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		cnf2 14384	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
12	1, 10, 6, 11	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
13	12	fvmptelcdm 5712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. U. K )
14		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
15	14	fvmpt2 5642	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ A e. U. K ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
16	5, 13, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
17		cnmpt1t.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
18		cntop2 14381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
20		toptopon2 14198	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
21	19, 20	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
22		cnf2 14384	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
23	1, 21, 17, 22	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
24	23	fvmptelcdm 5712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. U. L )
25		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
26	25	fvmpt2 5642	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ B e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
28	16, 27	opeq12d 3813	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
29	28	mpteq2dva 4120	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
30	4, 29	eqtr3d 2228	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
31		eqid 2193	. . . 4 |- U. J = U. J
32		nfcv 2336	. . . . 5 |- F/_ y <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >.
33		nffvmpt1 5566	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` y )
34		nffvmpt1 5566	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` y )
35	33, 34	nfop 3821	. . . . 5 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >.
36		fveq2 5555	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` y ) )
37		fveq2 5555	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` y ) )
38	36, 37	opeq12d 3813	. . . . 5 |- ( x = y -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
39	32, 35, 38	cbvmpt 4125	. . . 4 |- ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( y e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
40	31, 39	txcnmpt 14452	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
41	6, 17, 40	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
42	30, 41	eqeltrrd 2271	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3622   U.cuni 3836   |-> cmpt 4091   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Topctop 14176  TopOnctopon 14189   Cn ccn 14364   tX ctx 14431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-topgen 12874  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-cn 14367  df-tx 14432

This theorem is referenced by:  cnmpt12f  14465  imasnopn  14478  cnrehmeocntop  14789