Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt1t Unicode version

Theorem cnmpt1t 12645
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j TopOn
cnmpt11.a
cnmpt1t.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt1t
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem cnmpt1t
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . 4 TopOn
2 toponuni 12373 . . . 4 TopOn
3 mpteq1 4048 . . . 4
41, 2, 33syl 17 . . 3
5 simpr 109 . . . . . 6
6 cnmpt11.a . . . . . . . . . 10
7 cntop2 12562 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 14 . . . . . . . . 9
9 toptopon2 12377 . . . . . . . . 9 TopOn
108, 9sylib 121 . . . . . . . 8 TopOn
11 cnf2 12565 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
121, 10, 6, 11syl3anc 1220 . . . . . . 7
1312fvmptelrn 5617 . . . . . 6
14 eqid 2157 . . . . . . 7
1514fvmpt2 5548 . . . . . 6
165, 13, 15syl2anc 409 . . . . 5
17 cnmpt1t.b . . . . . . . . . 10
18 cntop2 12562 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9
20 toptopon2 12377 . . . . . . . . 9 TopOn
2119, 20sylib 121 . . . . . . . 8 TopOn
22 cnf2 12565 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
231, 21, 17, 22syl3anc 1220 . . . . . . 7
2423fvmptelrn 5617 . . . . . 6
25 eqid 2157 . . . . . . 7
2625fvmpt2 5548 . . . . . 6
275, 24, 26syl2anc 409 . . . . 5
2816, 27opeq12d 3749 . . . 4
2928mpteq2dva 4054 . . 3
304, 29eqtr3d 2192 . 2
31 eqid 2157 . . . 4
32 nfcv 2299 . . . . 5
33 nffvmpt1 5476 . . . . . 6
34 nffvmpt1 5476 . . . . . 6
3533, 34nfop 3757 . . . . 5
36 fveq2 5465 . . . . . 6
37 fveq2 5465 . . . . . 6
3836, 37opeq12d 3749 . . . . 5
3932, 35, 38cbvmpt 4059 . . . 4
4031, 39txcnmpt 12633 . . 3
416, 17, 40syl2anc 409 . 2
4230, 41eqeltrrd 2235 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  cop 3563  cuni 3772   cmpt 4025  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  ctop 12355  TopOnctopon 12368   ccn 12545   ctx 12612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-topgen 12332  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cn 12548  df-tx 12613 This theorem is referenced by:  cnmpt12f  12646  imasnopn  12659  cnrehmeocntop  12953
 Copyright terms: Public domain W3C validator