Theorem cnmpt1t 15150

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1t	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, K   x, L

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		toponuni 14880	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
3		mpteq1 4194	. . . 4 |- ( X = U. J -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
6		cnmpt11.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 15067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
9		toptopon2 14884	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		cnf2 15070	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
12	1, 10, 6, 11	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
13	12	fvmptelcdm 5830	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. U. K )
14		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
15	14	fvmpt2 5761	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ A e. U. K ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
16	5, 13, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
17		cnmpt1t.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
18		cntop2 15067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
20		toptopon2 14884	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
21	19, 20	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
22		cnf2 15070	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
23	1, 21, 17, 22	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
24	23	fvmptelcdm 5830	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. U. L )
25		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
26	25	fvmpt2 5761	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ B e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
28	16, 27	opeq12d 3891	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
29	28	mpteq2dva 4200	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
30	4, 29	eqtr3d 2267	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
31		eqid 2232	. . . 4 |- U. J = U. J
32		nfcv 2384	. . . . 5 |- F/_ y <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >.
33		nffvmpt1 5681	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` y )
34		nffvmpt1 5681	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` y )
35	33, 34	nfop 3899	. . . . 5 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >.
36		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` y ) )
37		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` y ) )
38	36, 37	opeq12d 3891	. . . . 5 |- ( x = y -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
39	32, 35, 38	cbvmpt 4205	. . . 4 |- ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( y e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
40	31, 39	txcnmpt 15138	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
41	6, 17, 40	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
42	30, 41	eqeltrrd 2310	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   U.cuni 3914   |-> cmpt 4171   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   Cn ccn 15050   tX ctx 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cn 15053  df-tx 15118

This theorem is referenced by:  cnmpt12f  15151  imasnopn  15164  cnrehmeocntop  15475