Theorem dvmptclx 15407

Description: Closure lemma for dvmptmulx 15409 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptadd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptadd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptadd.da	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptclx.ss	|- ( ph -> X C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dvmptclx	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S   x, V   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem dvmptclx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		cnex 8134	. . . . . . 7 |- CC e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> CC e. _V )
4	1	elexd 2813	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
5		dvmptadd.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
6	5	fmpttd 5792	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
7		dvmptclx.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ S )
8		elpm2r 6821	. . . . . 6 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) /\ ( ( x e. X |-> A ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1272	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
10		dvfgg 15377	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC )
11	1, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC )
12		dvmptadd.da	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
13	12	dmeqd 4925	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = dom ( x e. X |-> B ) )
14		dvmptadd.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
15	14	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X B e. V )
16		dmmptg 5226	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X B e. V -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
18	13, 17	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = X )
19	18	feq2d 5461	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC <-> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC ) )
20	11, 19	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC )
21	12	feq1d 5460	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC ) )
22	20, 21	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
23	22	fvmptelcdm 5790	1 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {cpr 3667   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719   -->wf 5314  (class class class)co 6007   ^pm cpm 6804   CCcc 8008   RRcr 8009   _D cdv 15344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-map 6805  df-pm 6806  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-psmet 14522  df-xmet 14523  df-met 14524  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-top 14687  df-topon 14700  df-bases 14732  df-ntr 14785  df-limced 15345  df-dvap 15346

This theorem is referenced by:  dvmptmulx  15409  dvmptcmulcn  15410  dvmptnegcn  15411  dvmptsubcn  15412  dvmptcjx  15413