ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptclx Unicode version

Theorem dvmptclx 12859
Description: Closure lemma for dvmptmulx 12861 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptclx.ss  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
Assertion
Ref Expression
dvmptclx  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptclx
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 cnex 7751 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
41elexd 2699 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
5 dvmptadd.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
65fmpttd 5575 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
7 dvmptclx.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 elpm2r 6560 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  -> 
( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
93, 4, 6, 7, 8syl22anc 1217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
10 dvfgg 12836 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) --> CC )
111, 9, 10syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) --> CC )
12 dvmptadd.da . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
1312dmeqd 4741 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
14 dvmptadd.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1514ralrimiva 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
16 dmmptg 5036 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1715, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
1813, 17eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
1918feq2d 5260 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) --> CC  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC ) )
2011, 19mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC )
2112feq1d 5259 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC ) )
2220, 21mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
2322fvmptelrn 5573 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   {cpr 3528    |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   -->wf 5119  (class class class)co 5774    ^pm cpm 6543   CCcc 7625   RRcr 7626    _D cdv 12803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by:  dvmptmulx  12861  dvmptcmulcn  12862  dvmptnegcn  12863  dvmptsubcn  12864
  Copyright terms: Public domain W3C validator