Theorem dvmptclx 15910

Description: Closure lemma for dvmptmulx 15912 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptadd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptadd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptadd.da	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptclx.ss	|- ( ph -> X C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dvmptclx	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S   x, V   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem dvmptclx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		cnex 8304	. . . . . . 7 |- CC e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> CC e. _V )
4	1	elexd 2835	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
5		dvmptadd.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
6	5	fmpttd 5863	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
7		dvmptclx.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ S )
8		elpm2r 6940	. . . . . 6 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) /\ ( ( x e. X |-> A ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1279	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
10		dvfgg 15880	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC )
11	1, 9, 10	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC )
12		dvmptadd.da	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
13	12	dmeqd 4983	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = dom ( x e. X |-> B ) )
14		dvmptadd.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
15	14	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X B e. V )
16		dmmptg 5285	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X B e. V -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
18	13, 17	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = X )
19	18	feq2d 5521	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC <-> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC ) )
20	11, 19	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC )
21	12	feq1d 5520	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC ) )
22	20, 21	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
23	22	fvmptelcdm 5861	1 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3710   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   -->wf 5373  (class class class)co 6085   ^pm cpm 6923   CCcc 8178   RRcr 8179   _D cdv 15847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-rest 13648  df-topgen 13667  df-psmet 14964  df-xmet 14965  df-met 14966  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-top 15190  df-topon 15203  df-bases 15235  df-ntr 15288  df-limced 15848  df-dvap 15849

This theorem is used by:  dvmptmulx  15912  dvmptcmulcn  15913  dvmptnegcn  15914  dvmptsubcn  15915  dvmptcjx  15916