Theorem dvmptclx 15512

Description: Closure lemma for dvmptmulx 15514 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptadd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptadd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptadd.da	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptclx.ss	|- ( ph -> X C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dvmptclx	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S   x, V   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem dvmptclx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		cnex 8199	. . . . . . 7 |- CC e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> CC e. _V )
4	1	elexd 2817	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
5		dvmptadd.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
6	5	fmpttd 5810	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
7		dvmptclx.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ S )
8		elpm2r 6878	. . . . . 6 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) /\ ( ( x e. X |-> A ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1275	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
10		dvfgg 15482	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC )
11	1, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC )
12		dvmptadd.da	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
13	12	dmeqd 4939	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = dom ( x e. X |-> B ) )
14		dvmptadd.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
15	14	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X B e. V )
16		dmmptg 5241	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X B e. V -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
18	13, 17	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = X )
19	18	feq2d 5477	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) --> CC <-> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC ) )
20	11, 19	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC )
21	12	feq1d 5476	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) : X --> CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC ) )
22	20, 21	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
23	22	fvmptelcdm 5808	1 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   {cpr 3674   |-> cmpt 4155   dom cdm 4731   -->wf 5329  (class class class)co 6028   ^pm cpm 6861   CCcc 8073   RRcr 8074   _D cdv 15449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-pm 6863  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-limced 15450  df-dvap 15451

This theorem is referenced by:  dvmptmulx  15514  dvmptcmulcn  15515  dvmptnegcn  15516  dvmptsubcn  15517  dvmptcjx  15518