Theorem fvmptmap 6966

Description: Special case of fvmpt 5782 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	|- C e. _V
fvmptmap.2	|- D e. _V
fvmptmap.3	|- R e. _V
fvmptmap.4	|- ( x = A -> B = C )
fvmptmap.5	|- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	|- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D   x, R

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 |- R e. _V
2		fvmptmap.2	. . 3 |- D e. _V
3	1, 2	elmap 6958	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) <-> A : D --> R )
4		fvmptmap.4	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
5		fvmptmap.5	. . 3 |- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )
6		fvmptmap.1	. . 3 |- C e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5782	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) -> ( F ` A ) = C )
8	3, 7	sylbir 135	1 |- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924

This theorem is used by: (None)