Theorem fvmptmap 6579

Description: Special case of fvmpt 5498 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	|- C e. _V
fvmptmap.2	|- D e. _V
fvmptmap.3	|- R e. _V
fvmptmap.4	|- ( x = A -> B = C )
fvmptmap.5	|- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	|- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D   x, R

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 |- R e. _V
2		fvmptmap.2	. . 3 |- D e. _V
3	1, 2	elmap 6571	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) <-> A : D --> R )
4		fvmptmap.4	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
5		fvmptmap.5	. . 3 |- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )
6		fvmptmap.1	. . 3 |- C e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5498	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) -> ( F ` A ) = C )
8	3, 7	sylbir 134	1 |- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   |-> cmpt 3989   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^m cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by: (None)