Theorem fvmptmap 6651

Description: Special case of fvmpt 5563 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	|- C e. _V
fvmptmap.2	|- D e. _V
fvmptmap.3	|- R e. _V
fvmptmap.4	|- ( x = A -> B = C )
fvmptmap.5	|- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	|- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D   x, R

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 |- R e. _V
2		fvmptmap.2	. . 3 |- D e. _V
3	1, 2	elmap 6643	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) <-> A : D --> R )
4		fvmptmap.4	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
5		fvmptmap.5	. . 3 |- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )
6		fvmptmap.1	. . 3 |- C e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5563	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) -> ( F ` A ) = C )
8	3, 7	sylbir 134	1 |- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616

This theorem is referenced by: (None)