Theorem fvmptmap 6830

Description: Special case of fvmpt 5710 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	|- C e. _V
fvmptmap.2	|- D e. _V
fvmptmap.3	|- R e. _V
fvmptmap.4	|- ( x = A -> B = C )
fvmptmap.5	|- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	|- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D   x, R

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 |- R e. _V
2		fvmptmap.2	. . 3 |- D e. _V
3	1, 2	elmap 6822	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) <-> A : D --> R )
4		fvmptmap.4	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
5		fvmptmap.5	. . 3 |- F = ( x e. ( R ^m D ) |-> B )
6		fvmptmap.1	. . 3 |- C e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5710	. 2 |- ( A e. ( R ^m D ) -> ( F ` A ) = C )
8	3, 7	sylbir 135	1 |- ( A : D --> R -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4144   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   ^m cmap 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-map 6795

This theorem is referenced by: (None)