Theorem fvmpt 5710

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 17-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmpt.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt	|- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt.3	. 2 |- C e. _V
2		fvmptg.1	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
3		fvmptg.2	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
4	2, 3	fvmptg 5709	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. _V ) -> ( F ` A ) = C )
5	1, 4	mpan2 425	1 |- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4144   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  reldm  6330  rdg0  6531  oacl  6604  fvmptmap  6830  xpcomco  6981  infnninf  7287  uzval  9720  sqrtrval  11506  fsumcnv  11943  fprodcnv  12131  ege2le3  12177  bitsfval  12448  nninfctlemfo  12556  qnumval  12702  qdenval  12703  odzval  12759  pcmpt  12861  1arithlem1  12881  elply2  15403  peano4nninf  16331  peano3nninf  16332  nninfsellemeq  16339