Theorem fvmpt 5776

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 17-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmpt.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt	|- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt.3	. 2 |- C e. _V
2		fvmptg.1	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
3		fvmptg.2	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
4	2, 3	fvmptg 5775	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. _V ) -> ( F ` A ) = C )
5	1, 4	mpan2 429	1 |- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  reldm  6410  rdg0  6648  oacl  6723  fvmptmap  6956  xpcomco  7114  infnninf  7454  uzval  9902  sqrtrval  11744  fsumcnv  12182  fprodcnv  12370  ege2le3  12416  bitsfval  12687  nninfctlemfo  12795  qnumval  12941  qdenval  12942  odzval  12998  pcmpt  13100  1arithlem1  13120  ballotfilem2  13206  ballotfilemfval  13207  ballotfilemi  13221  ballotfilemsval  13230  ballotfilemth  13259  elply2  15759  peano4nninf  16954  peano3nninf  16955  nninfsellemeq  16962