Theorem fvmpt 5595

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 17-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmpt.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt	|- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt.3	. 2 |- C e. _V
2		fvmptg.1	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
3		fvmptg.2	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
4	2, 3	fvmptg 5594	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. _V ) -> ( F ` A ) = C )
5	1, 4	mpan2 425	1 |- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   |-> cmpt 4066   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  reldm  6189  rdg0  6390  oacl  6463  fvmptmap  6687  xpcomco  6828  infnninf  7124  uzval  9532  sqrtrval  11011  fsumcnv  11447  fprodcnv  11635  ege2le3  11681  qnumval  12187  qdenval  12188  odzval  12243  pcmpt  12343  1arithlem1  12363  peano4nninf  14840  peano3nninf  14841  nninfsellemeq  14848