Theorem fvmpt 5782

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 17-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmpt.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt	|- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt.3	. 2 |- C e. _V
2		fvmptg.1	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
3		fvmptg.2	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
4	2, 3	fvmptg 5781	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. _V ) -> ( F ` A ) = C )
5	1, 4	mpan2 429	1 |- ( A e. D -> ( F ` A ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  reldm  6420  rdg0  6658  oacl  6733  fvmptmap  6966  xpcomco  7124  infnninf  7464  uzval  9932  sqrtrval  11780  fsumcnv  12220  fprodcnv  12408  ege2le3  12454  bitsfval  12725  nninfctlemfo  12833  qnumval  12981  qdenval  12982  odzval  13040  pcmpt  13142  1arithlem1  13162  ballotfilem2  13277  ballotfilemfval  13278  ballotfilemi  13292  ballotfilemsval  13301  ballotfilemth  13330  elply2  15885  bposlem5  16213  peano4nninf  17147  peano3nninf  17148  nninfsellemeq  17155