Theorem fvmptmap 6703

Description: Special case of fvmpt 5609 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	⊢ 𝐶 ∈ V
fvmptmap.2	⊢ 𝐷 ∈ V
fvmptmap.3	⊢ 𝑅 ∈ V
fvmptmap.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptmap.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		fvmptmap.2	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	1, 2	elmap 6695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝐴:𝐷⟶𝑅)
4		fvmptmap.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
5		fvmptmap.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↦ 𝐵)
6		fvmptmap.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 5609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	3, 7	sylbir 135	1 ⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ↦ cmpt 4079  ⟶wf 5227  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891   ↑_𝑚 cmap 6666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-map 6668

This theorem is referenced by: (None)