Theorem fvmptmap 6918

Description: Special case of fvmpt 5753 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	⊢ 𝐶 ∈ V
fvmptmap.2	⊢ 𝐷 ∈ V
fvmptmap.3	⊢ 𝑅 ∈ V
fvmptmap.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptmap.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		fvmptmap.2	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	1, 2	elmap 6910	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝐴:𝐷⟶𝑅)
4		fvmptmap.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
5		fvmptmap.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↦ 𝐵)
6		fvmptmap.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 5753	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	3, 7	sylbir 135	1 ⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ↦ cmpt 4170  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ↑_𝑚 cmap 6881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-map 6883

This theorem is referenced by: (None)