Theorem fvmptmap 6897

Description: Special case of fvmpt 5732 for operator theorems. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptmap.1	⊢ 𝐶 ∈ V
fvmptmap.2	⊢ 𝐷 ∈ V
fvmptmap.3	⊢ 𝑅 ∈ V
fvmptmap.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptmap.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptmap	⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptmap.3	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		fvmptmap.2	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	1, 2	elmap 6889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝐴:𝐷⟶𝑅)
4		fvmptmap.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
5		fvmptmap.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) ↦ 𝐵)
6		fvmptmap.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 5732	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝐷) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	3, 7	sylbir 135	1 ⊢ (𝐴:𝐷⟶𝑅 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ↦ cmpt 4155  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ↑_𝑚 cmap 6860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862

This theorem is referenced by: (None)