Theorem fvpr0o 13288

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr0o	|- ( A e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )

Proof of Theorem fvpr0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4660	. 2 |- (/) e. om
2		1n0 6541	. . 3 |- 1o =/= (/)
3	2	necomi 2463	. 2 |- (/) =/= 1o
4		fvpr1g 5813	. 2 |- ( ( (/) e. om /\ A e. V /\ (/) =/= 1o ) -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )
5	1, 3, 4	mp3an13 1341	1 |- ( A e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   (/)c0 3468   {cpr 3644   <.cop 3646   omcom 4656   ` cfv 5290   1oc1o 6518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-1o 6525

This theorem is referenced by:  fvprif  13290  xpsfeq  13292  xpsfrnel2  13293  xpsff1o  13296