Theorem fvpr0o 13571

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr0o	|- ( A e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )

Proof of Theorem fvpr0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4718	. 2 |- (/) e. om
2		1n0 6667	. . 3 |- 1o =/= (/)
3	2	necomi 2499	. 2 |- (/) =/= 1o
4		fvpr1g 5892	. 2 |- ( ( (/) e. om /\ A e. V /\ (/) =/= 1o ) -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )
5	1, 3, 4	mp3an13 1365	1 |- ( A e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   (/)c0 3510   {cpr 3692   <.cop 3694   omcom 4714   ` cfv 5354   1oc1o 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-1o 6649

This theorem is referenced by:  fvprif  13573  xpsfeq  13575  xpsfrnel2  13576  xpsff1o  13579