Theorem fvpr0o 12927

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr0o	|- ( A e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )

Proof of Theorem fvpr0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4627	. 2 |- (/) e. om
2		1n0 6487	. . 3 |- 1o =/= (/)
3	2	necomi 2449	. 2 |- (/) =/= 1o
4		fvpr1g 5765	. 2 |- ( ( (/) e. om /\ A e. V /\ (/) =/= 1o ) -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )
5	1, 3, 4	mp3an13 1339	1 |- ( A e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` (/) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   (/)c0 3447   {cpr 3620   <.cop 3622   omcom 4623   ` cfv 5255   1oc1o 6464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-1o 6471

This theorem is referenced by:  fvprif  12929  xpsfeq  12931  xpsfrnel2  12932  xpsff1o  12935