Theorem grplinvd 13187

Description: The left inverse of a group element. Deduction associated with grplinv 13182. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplinvd.b	|- B = ( Base ` G )
grplinvd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplinvd.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grplinvd.n	|- N = ( invg ` G )
grplinvd.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grplinvd.1	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
grplinvd	|- ( ph -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Proof of Theorem grplinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplinvd.g	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grplinvd.1	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grplinvd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
4		grplinvd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
5		grplinvd.u	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
6		grplinvd.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
7	3, 4, 5, 6	grplinv 13182	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136

This theorem is referenced by:  rngmneg2  13504