Theorem grplinv 13651

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinv.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		grpinv.u	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
4		grpinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 13644	. . . 4 |- ( X e. B -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
7	1, 2, 3	grpinveu 13639	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> E! y e. B ( y .+ X ) = .0. )
8		riotacl2 5986	. . . 4 |- ( E! y e. B ( y .+ X ) = .0. -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
10	6, 9	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
11		oveq1 6025	. . . . 5 |- ( y = ( N ` X ) -> ( y .+ X ) = ( ( N ` X ) .+ X ) )
12	11	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( y = ( N ` X ) -> ( ( y .+ X ) = .0. <-> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
13	12	elrab 2962	. . 3 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } <-> ( ( N ` X ) e. B /\ ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
14	13	simprbi 275	. 2 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
15	10, 14	syl 14	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   E!wreu 2512   {crab 2514   ` cfv 5326   iota_crio 5970  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   0gc0g 13357   Grpcgrp 13601   invgcminusg 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605

This theorem is referenced by:  grprinv  13652  grpinvid1  13653  grpinvid2  13654  isgrpinv  13655  grplinvd  13656  grplrinv  13658  grpressid  13662  grplcan  13663  grpasscan2  13665  grpinvinv  13668  grpinvssd  13678  grpsubadd  13689  grplactcnv  13703  imasgrp  13716  ghmgrp  13723  mulgdirlem  13758  issubg2m  13794  isnsg3  13812  nmzsubg  13815  ssnmz  13816  eqger  13829  qusgrp  13837  conjghm  13881  ringnegr  14084  unitlinv  14159  lmodvneg1  14363  psrlinv  14717