Theorem grplinv 13913

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinv.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		grpinv.u	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
4		grpinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 13906	. . . 4 |- ( X e. B -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
7	1, 2, 3	grpinveu 13901	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> E! y e. B ( y .+ X ) = .0. )
8		riotacl2 6056	. . . 4 |- ( E! y e. B ( y .+ X ) = .0. -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
10	6, 9	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
11		oveq1 6095	. . . . 5 |- ( y = ( N ` X ) -> ( y .+ X ) = ( ( N ` X ) .+ X ) )
12	11	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( y = ( N ` X ) -> ( ( y .+ X ) = .0. <-> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
13	12	elrab 2982	. . 3 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } <-> ( ( N ` X ) e. B /\ ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
14	13	simprbi 275	. 2 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
15	10, 14	syl 14	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   {crab 2532   ` cfv 5380   iota_crio 6040  (class class class)co 6088   Basecbs 13409   +g cplusg 13489   0gc0g 13668   Grpcgrp 13863   invgcminusg 13864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-0g 13670  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867

This theorem is used by:  grprinv  13914  grpinvid1  13915  grpinvid2  13916  isgrpinv  13917  grplinvd  13918  grplrinv  13920  grpressid  13924  grplcan  13925  grpasscan2  13927  grpinvinv  13930  grpinvssd  13940  grpsubadd  13951  grplactcnv  13965  imasgrp  13972  ghmgrp  13979  mulgdirlem  14014  issubg2m  14050  isnsg3  14068  nmzsubg  14071  ssnmz  14072  eqger  14085  qusgrp  14093  conjghm  14137  cntzsubg  14170  ringnegr  14463  unitlinv  14541  lmodvneg1  14775  psrlinv  15203