Theorem grplinv 13832

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinv.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		grpinv.u	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
4		grpinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 13825	. . . 4 |- ( X e. B -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
7	1, 2, 3	grpinveu 13820	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> E! y e. B ( y .+ X ) = .0. )
8		riotacl2 6043	. . . 4 |- ( E! y e. B ( y .+ X ) = .0. -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
10	6, 9	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
11		oveq1 6082	. . . . 5 |- ( y = ( N ` X ) -> ( y .+ X ) = ( ( N ` X ) .+ X ) )
12	11	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( y = ( N ` X ) -> ( ( y .+ X ) = .0. <-> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
13	12	elrab 2982	. . 3 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } <-> ( ( N ` X ) e. B /\ ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
14	13	simprbi 275	. 2 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
15	10, 14	syl 14	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   {crab 2532   ` cfv 5372   iota_crio 6027  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786

This theorem is referenced by:  grprinv  13833  grpinvid1  13834  grpinvid2  13835  isgrpinv  13836  grplinvd  13837  grplrinv  13839  grpressid  13843  grplcan  13844  grpasscan2  13846  grpinvinv  13849  grpinvssd  13859  grpsubadd  13870  grplactcnv  13884  imasgrp  13891  ghmgrp  13898  mulgdirlem  13933  issubg2m  13969  isnsg3  13987  nmzsubg  13990  ssnmz  13991  eqger  14004  qusgrp  14012  conjghm  14056  ringnegr  14330  unitlinv  14406  lmodvneg1  14639  psrlinv  14998