Theorem grplinv 13578

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinv.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		grpinv.u	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
4		grpinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 13571	. . . 4 |- ( X e. B -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) )
7	1, 2, 3	grpinveu 13566	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> E! y e. B ( y .+ X ) = .0. )
8		riotacl2 5968	. . . 4 |- ( E! y e. B ( y .+ X ) = .0. -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( iota_ y e. B ( y .+ X ) = .0. ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
10	6, 9	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } )
11		oveq1 6007	. . . . 5 |- ( y = ( N ` X ) -> ( y .+ X ) = ( ( N ` X ) .+ X ) )
12	11	eqeq1d 2238	. . . 4 |- ( y = ( N ` X ) -> ( ( y .+ X ) = .0. <-> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
13	12	elrab 2959	. . 3 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } <-> ( ( N ` X ) e. B /\ ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. ) )
14	13	simprbi 275	. 2 |- ( ( N ` X ) e. { y e. B | ( y .+ X ) = .0. } -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
15	10, 14	syl 14	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   {crab 2512   ` cfv 5317   iota_crio 5952  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284   Grpcgrp 13528   invgcminusg 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532

This theorem is referenced by:  grprinv  13579  grpinvid1  13580  grpinvid2  13581  isgrpinv  13582  grplinvd  13583  grplrinv  13585  grpressid  13589  grplcan  13590  grpasscan2  13592  grpinvinv  13595  grpinvssd  13605  grpsubadd  13616  grplactcnv  13630  imasgrp  13643  ghmgrp  13650  mulgdirlem  13685  issubg2m  13721  isnsg3  13739  nmzsubg  13742  ssnmz  13743  eqger  13756  qusgrp  13764  conjghm  13808  ringnegr  14010  unitlinv  14084  lmodvneg1  14288  psrlinv  14642