Theorem gtned 8021

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapd 8545 which is the same but for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltned.2	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
gtned	|- ( ph -> B =/= A )

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltned.2	. 2 |- ( ph -> A < B )
3		ltne 7993	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> B =/= A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3987   RRcr 7762   < clt 7943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-pre-ltirr 7875

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-ltxr 7948

This theorem is referenced by:  ltned  8022  seq3f1olemqsumkj  10443  nn0opthlem2d  10644  zfz1isolemiso  10763  ennnfonelemim  12368  logbgcd1irr  13640  logbgcd1irraplemexp  13641