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Theorem logbgcd1irr 15697
Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example, ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. ( RR \ QQ ) )
Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9800 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
21nnrpd 9929 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR+ )
323ad2ant2 1045 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> B e. RR+ )
4 1red 8194 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
5 eluzelre 9766 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR )
6 eluz2gt1 9836 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
74, 5, 6gtapd 8817 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B # 1 )
873ad2ant2 1045 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> B # 1 )
9 eluz2nn 9800 . . . . 5 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> X e. NN )
109nnrpd 9929 . . . 4 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> X e. RR+ )
11103ad2ant1 1044 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> X e. RR+ )
12 rplogbcl 15676 . . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ X e. RR+ ) -> ( B logb X ) e. RR )
133, 8, 11, 12syl3anc 1273 . 2 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. RR )
14 eluz2gt1 9836 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < X )
1514adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < X )
169adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> X e. NN )
1716nnrpd 9929 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> X e. RR+ )
181adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. NN )
1918nnrpd 9929 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. RR+ )
206adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < B )
21 logbgt0b 15696 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. RR+ /\ ( B e. RR+ /\ 1 < B ) ) -> ( 0 < ( B logb X ) <-> 1 < X ) )
2217, 19, 20, 21syl12anc 1271 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( B logb X ) <-> 1 < X ) )
2315, 22mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( B logb X ) )
2423anim1ci 341 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( B logb X ) e. QQ ) -> ( ( B logb X ) e. QQ /\ 0 < ( B logb X ) ) )
25 elpq 9883 . . . . . . 7 |- ( ( ( B logb X ) e. QQ /\ 0 < ( B logb X ) ) -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( B logb X ) e. QQ ) -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) )
2726ex 115 . . . . 5 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B logb X ) e. QQ -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) ) )
28 oveq2 6026 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m / n ) = ( B logb X ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = ( B ^c ( B logb X ) ) )
2928eqcoms 2234 . . . . . . . . 9 |- ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = ( B ^c ( B logb X ) ) )
307adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B # 1 )
31 rpcxplogb 15694 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ X e. RR+ ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3219, 30, 17, 31syl3anc 1273 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3332adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3429, 33sylan9eqr 2286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B logb X ) = ( m / n ) ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = X )
3534ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = X ) )
36 oveq1 6025 . . . . . . . 8 |- ( ( B ^c ( m / n ) ) = X -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) )
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> B e. RR+ )
38 nnrp 9898 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
3938ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. RR+ )
40 nnrp 9898 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
4140ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. RR+ )
4239, 41rpdivcld 9949 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( m / n ) e. RR+ )
4342rpred 9931 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( m / n ) e. RR )
44 nncn 9151 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. CC )
4544ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. CC )
4637, 43, 45cxpmuld 15667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) )
4739rpcnd 9933 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. CC )
4841rpap0d 9937 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n # 0 )
4947, 45, 48divcanap1d 8971 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( m / n ) x. n ) = m )
5049oveq2d 6034 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( B ^c m ) )
511ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> B e. NN )
52 nnz 9498 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
5352ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. ZZ )
54 cxpexpnn 15626 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. NN /\ m e. ZZ ) -> ( B ^c m ) = ( B ^ m ) )
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c m ) = ( B ^ m ) )
5650, 55eqtrd 2264 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( B ^ m ) )
5737, 43rpcxpcld 15663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( m / n ) ) e. RR+ )
58 nnz 9498 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
5958ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. ZZ )
60 cxpexprp 15625 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B ^c ( m / n ) ) e. RR+ /\ n e. ZZ ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) )
6157, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) )
6246, 56, 613eqtr3rd 2273 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( B ^ m ) )
6362eqeq1d 2240 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) <-> ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) )
64 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> n e. NN )
65 rplpwr 12603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. NN /\ B e. NN /\ n e. NN ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 ) )
6616, 18, 64, 65syl2an3an 1334 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 ) )
67 oveq1 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X ^ n ) = ( B ^ m ) -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = ( ( B ^ m ) gcd B ) )
6867eqeq1d 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ^ n ) = ( B ^ m ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
6968eqcoms 2234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
71 eluzelz 9765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ZZ )
73 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> m e. NN )
74 rpexp 12730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ B e. ZZ /\ m e. NN ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 <-> ( B gcd B ) = 1 ) )
7572, 72, 73, 74syl2an3an 1334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 <-> ( B gcd B ) = 1 ) )
76 gcdid 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ZZ -> ( B gcd B ) = ( abs ` B ) )
7771, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B gcd B ) = ( abs ` B ) )
78 nnnn0 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
79 nn0ge0 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
801, 78, 793syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ B )
815, 80absidd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` B ) = B )
8277, 81eqtrd 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B gcd B ) = B )
8382eqeq1d 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( B gcd B ) = 1 <-> B = 1 ) )
8483ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B gcd B ) = 1 <-> B = 1 ) )
854, 6gtned 8292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B =/= 1 )
86 eqneqall 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B = 1 -> ( B =/= 1 -> F. ) )
8785, 86syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B = 1 -> F. ) )
8887ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B = 1 -> F. ) )
8984, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B gcd B ) = 1 -> F. ) )
9075, 89sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9190adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9270, 91sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9392ex 115 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> F. ) ) )
9493com23 78 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) ) )
9566, 94syld 45 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) ) )
96 dfnot 1415 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( B ^ m ) = ( X ^ n ) <-> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) )
9795, 96imbitrrdi 162 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> -. ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) )
9897con2d 629 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
9963, 98sylbid 150 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10036, 99syl5 32 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) = X -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10135, 100syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
102101rexlimdvva 2658 . . . . 5 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10327, 102syld 45 . . . 4 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B logb X ) e. QQ -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
104103con2d 629 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> -. ( B logb X ) e. QQ ) )
1051043impia 1226 . 2 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> -. ( B logb X ) e. QQ )
10613, 105eldifd 3210 1 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. ( RR \ QQ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   F. wfal 1402   e. wcel 2202   =/= wne 2402   E.wrex 2511   \ cdif 3197   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   x. cmul 8037   < clt 8214   <_ cle 8215   # cap 8761   / cdiv 8852   NNcn 9143   2c2 9194   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   QQcq 9853   RR+crp 9888   ^cexp 10801   abscabs 11562   gcd cgcd 12529   ^c ccxp 15587   logb clogb 15673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11380  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-ef 12214  df-e 12215  df-dvds 12354  df-gcd 12530  df-prm 12685  df-rest 13329  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-top 14728  df-topon 14741  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-cn 14918  df-cnp 14919  df-tx 14983  df-cncf 15301  df-limced 15386  df-dvap 15387  df-relog 15588  df-rpcxp 15589  df-logb 15674
This theorem is referenced by:  2logb9irr  15701  logbprmirr  15702
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