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Theorem logbgcd1irr 14052
Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example, ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. ( RR \ QQ ) )
Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9555 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
21nnrpd 9681 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR+ )
323ad2ant2 1019 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> B e. RR+ )
4 1red 7963 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
5 eluzelre 9527 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR )
6 eluz2gt1 9591 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
74, 5, 6gtapd 8584 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B # 1 )
873ad2ant2 1019 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> B # 1 )
9 eluz2nn 9555 . . . . 5 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> X e. NN )
109nnrpd 9681 . . . 4 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> X e. RR+ )
11103ad2ant1 1018 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> X e. RR+ )
12 rplogbcl 14031 . . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ X e. RR+ ) -> ( B logb X ) e. RR )
133, 8, 11, 12syl3anc 1238 . 2 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. RR )
14 eluz2gt1 9591 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < X )
1514adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < X )
169adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> X e. NN )
1716nnrpd 9681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> X e. RR+ )
181adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. NN )
1918nnrpd 9681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. RR+ )
206adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < B )
21 logbgt0b 14051 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. RR+ /\ ( B e. RR+ /\ 1 < B ) ) -> ( 0 < ( B logb X ) <-> 1 < X ) )
2217, 19, 20, 21syl12anc 1236 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( B logb X ) <-> 1 < X ) )
2315, 22mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( B logb X ) )
2423anim1ci 341 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( B logb X ) e. QQ ) -> ( ( B logb X ) e. QQ /\ 0 < ( B logb X ) ) )
25 elpq 9637 . . . . . . 7 |- ( ( ( B logb X ) e. QQ /\ 0 < ( B logb X ) ) -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( B logb X ) e. QQ ) -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) )
2726ex 115 . . . . 5 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B logb X ) e. QQ -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) ) )
28 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m / n ) = ( B logb X ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = ( B ^c ( B logb X ) ) )
2928eqcoms 2180 . . . . . . . . 9 |- ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = ( B ^c ( B logb X ) ) )
307adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B # 1 )
31 rpcxplogb 14049 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ X e. RR+ ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3219, 30, 17, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3332adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3429, 33sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B logb X ) = ( m / n ) ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = X )
3534ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = X ) )
36 oveq1 5876 . . . . . . . 8 |- ( ( B ^c ( m / n ) ) = X -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) )
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> B e. RR+ )
38 nnrp 9650 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
3938ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. RR+ )
40 nnrp 9650 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
4140ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. RR+ )
4239, 41rpdivcld 9701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( m / n ) e. RR+ )
4342rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( m / n ) e. RR )
44 nncn 8916 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. CC )
4544ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. CC )
4637, 43, 45cxpmuld 14023 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) )
4739rpcnd 9685 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. CC )
4841rpap0d 9689 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n # 0 )
4947, 45, 48divcanap1d 8737 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( m / n ) x. n ) = m )
5049oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( B ^c m ) )
511ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> B e. NN )
52 nnz 9261 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
5352ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. ZZ )
54 cxpexpnn 13984 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. NN /\ m e. ZZ ) -> ( B ^c m ) = ( B ^ m ) )
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c m ) = ( B ^ m ) )
5650, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( B ^ m ) )
5737, 43rpcxpcld 14019 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( m / n ) ) e. RR+ )
58 nnz 9261 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
5958ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. ZZ )
60 cxpexprp 13983 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B ^c ( m / n ) ) e. RR+ /\ n e. ZZ ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) )
6157, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) )
6246, 56, 613eqtr3rd 2219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( B ^ m ) )
6362eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) <-> ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) )
64 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> n e. NN )
65 rplpwr 12011 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. NN /\ B e. NN /\ n e. NN ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 ) )
6616, 18, 64, 65syl2an3an 1298 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 ) )
67 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X ^ n ) = ( B ^ m ) -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = ( ( B ^ m ) gcd B ) )
6867eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ^ n ) = ( B ^ m ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
6968eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
71 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ZZ )
73 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> m e. NN )
74 rpexp 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ B e. ZZ /\ m e. NN ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 <-> ( B gcd B ) = 1 ) )
7572, 72, 73, 74syl2an3an 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 <-> ( B gcd B ) = 1 ) )
76 gcdid 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ZZ -> ( B gcd B ) = ( abs ` B ) )
7771, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B gcd B ) = ( abs ` B ) )
78 nnnn0 9172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
79 nn0ge0 9190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
801, 78, 793syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ B )
815, 80absidd 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` B ) = B )
8277, 81eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B gcd B ) = B )
8382eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( B gcd B ) = 1 <-> B = 1 ) )
8483ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B gcd B ) = 1 <-> B = 1 ) )
854, 6gtned 8060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B =/= 1 )
86 eqneqall 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B = 1 -> ( B =/= 1 -> F. ) )
8785, 86syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B = 1 -> F. ) )
8887ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B = 1 -> F. ) )
8984, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B gcd B ) = 1 -> F. ) )
9075, 89sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9190adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9270, 91sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9392ex 115 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> F. ) ) )
9493com23 78 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) ) )
9566, 94syld 45 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) ) )
96 dfnot 1371 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( B ^ m ) = ( X ^ n ) <-> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) )
9795, 96syl6ibr 162 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> -. ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) )
9897con2d 624 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
9963, 98sylbid 150 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10036, 99syl5 32 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) = X -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10135, 100syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
102101rexlimdvva 2602 . . . . 5 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10327, 102syld 45 . . . 4 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B logb X ) e. QQ -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
104103con2d 624 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> -. ( B logb X ) e. QQ ) )
1051043impia 1200 . 2 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> -. ( B logb X ) e. QQ )
10613, 105eldifd 3139 1 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. ( RR \ QQ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   F. wfal 1358   e. wcel 2148   =/= wne 2347   E.wrex 2456   \ cdif 3126   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   # cap 8528   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   QQcq 9608   RR+crp 9640   ^cexp 10505   abscabs 10990   gcd cgcd 11926   ^c ccxp 13945   logb clogb 14028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-e 11641  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793  df-relog 13946  df-rpcxp 13947  df-logb 14029
This theorem is referenced by:  2logb9irr  14056  logbprmirr  14057
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