ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logbgcd1irr Unicode version

Theorem logbgcd1irr 14388
Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example,  ( 2 logb  9 )  e.  ( RR  \  QQ ). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( X  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( B logb  X )  e.  ( RR  \  QQ ) )

Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9566 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  NN )
21nnrpd 9694 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  RR+ )
323ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( X  gcd  B
)  =  1 )  ->  B  e.  RR+ )
4 1red 7972 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
5 eluzelre 9538 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  RR )
6 eluz2gt1 9602 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  B )
74, 5, 6gtapd 8594 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B #  1
)
873ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( X  gcd  B
)  =  1 )  ->  B #  1 )
9 eluz2nn 9566 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  X  e.  NN )
109nnrpd 9694 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  X  e.  RR+ )
11103ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( X  gcd  B
)  =  1 )  ->  X  e.  RR+ )
12 rplogbcl 14367 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B #  1  /\  X  e.  RR+ )  ->  ( B logb  X )  e.  RR )
133, 8, 11, 12syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( X  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( B logb  X )  e.  RR )
14 eluz2gt1 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  X )
1514adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  X )
169adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  X  e.  NN )
1716nnrpd 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  X  e.  RR+ )
181adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  NN )
1918nnrpd 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  RR+ )
206adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  B )
21 logbgt0b 14387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR+  /\  ( B  e.  RR+  /\  1  <  B ) )  -> 
( 0  <  ( B logb 
X )  <->  1  <  X ) )
2217, 19, 20, 21syl12anc 1236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 0  <  ( B logb  X )  <->  1  <  X ) )
2315, 22mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( B logb  X ) )
2423anim1ci 341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( B logb  X )  e.  QQ )  ->  (
( B logb  X )  e.  QQ  /\  0  < 
( B logb  X ) ) )
25 elpq 9648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B logb  X )  e.  QQ  /\  0  < 
( B logb  X ) )  ->  E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( B logb 
X )  =  ( m  /  n ) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( B logb  X )  e.  QQ )  ->  E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( B logb  X )  =  ( m  /  n ) )
2726ex 115 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( B logb 
X )  e.  QQ  ->  E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( B logb 
X )  =  ( m  /  n ) ) )
28 oveq2 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  n )  =  ( B logb  X )  ->  ( B  ^c  ( m  /  n ) )  =  ( B  ^c 
( B logb  X ) ) )
2928eqcoms 2180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B logb  X )  =  ( m  /  n )  ->  ( B  ^c  ( m  /  n ) )  =  ( B  ^c 
( B logb  X ) ) )
307adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B #  1
)
31 rpcxplogb 14385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B #  1  /\  X  e.  RR+ )  ->  ( B  ^c  ( B logb  X ) )  =  X )
3219, 30, 17, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( B  ^c  ( B logb  X
) )  =  X )
3332adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( B  ^c  ( B logb  X
) )  =  X )
3429, 33sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( B logb  X )  =  ( m  /  n
) )  ->  ( B  ^c  ( m  /  n ) )  =  X )
3534ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B logb 
X )  =  ( m  /  n )  ->  ( B  ^c  ( m  /  n ) )  =  X ) )
36 oveq1 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) )  =  X  -> 
( ( B  ^c  ( m  /  n ) ) ^
n )  =  ( X ^ n ) )
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  B  e.  RR+ )
38 nnrp 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
3938ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  m  e.  RR+ )
40 nnrp 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4140ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  e.  RR+ )
4239, 41rpdivcld 9714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( m  /  n )  e.  RR+ )
4342rpred 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( m  /  n )  e.  RR )
44 nncn 8927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4544ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  e.  CC )
4637, 43, 45cxpmuld 14359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( B  ^c  ( (
m  /  n )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) )  ^c  n ) )
4739rpcnd 9698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  m  e.  CC )
4841rpap0d 9702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  n #  0
)
4947, 45, 48divcanap1d 8748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
m  /  n )  x.  n )  =  m )
5049oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( B  ^c  ( (
m  /  n )  x.  n ) )  =  ( B  ^c  m ) )
511ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  B  e.  NN )
52 nnz 9272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
5352ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  m  e.  ZZ )
54 cxpexpnn 14320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( B  ^c 
m )  =  ( B ^ m ) )
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( B  ^c  m )  =  ( B ^
m ) )
5650, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( B  ^c  ( (
m  /  n )  x.  n ) )  =  ( B ^
m ) )
5737, 43rpcxpcld 14355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( B  ^c  ( m  /  n ) )  e.  RR+ )
58 nnz 9272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
5958ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  e.  ZZ )
60 cxpexprp 14319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  ^c 
( m  /  n
) )  e.  RR+  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) )  ^c  n )  =  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) ) ^ n ) )
6157, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) )  ^c  n )  =  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) ) ^ n ) )
6246, 56, 613eqtr3rd 2219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) ) ^ n )  =  ( B ^ m
) )
6362eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
( B  ^c 
( m  /  n
) ) ^ n
)  =  ( X ^ n )  <->  ( B ^ m )  =  ( X ^ n
) ) )
64 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
65 rplpwr 12028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  (
( X  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( X ^
n )  gcd  B
)  =  1 ) )
6616, 18, 64, 65syl2an3an 1298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( X  gcd  B )  =  1  ->  ( ( X ^ n )  gcd 
B )  =  1 ) )
67 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X ^ n )  =  ( B ^
m )  ->  (
( X ^ n
)  gcd  B )  =  ( ( B ^ m )  gcd 
B ) )
6867eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X ^ n )  =  ( B ^
m )  ->  (
( ( X ^
n )  gcd  B
)  =  1  <->  (
( B ^ m
)  gcd  B )  =  1 ) )
6968eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B ^ m )  =  ( X ^
n )  ->  (
( ( X ^
n )  gcd  B
)  =  1  <->  (
( B ^ m
)  gcd  B )  =  1 ) )
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( B ^ m )  =  ( X ^
n ) )  -> 
( ( ( X ^ n )  gcd 
B )  =  1  <-> 
( ( B ^
m )  gcd  B
)  =  1 ) )
71 eluzelz 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  ZZ )
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  ZZ )
73 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
74 rpexp 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( B ^
m )  gcd  B
)  =  1  <->  ( B  gcd  B )  =  1 ) )
7572, 72, 73, 74syl2an3an 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
( B ^ m
)  gcd  B )  =  1  <->  ( B  gcd  B )  =  1 ) )
76 gcdid 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  gcd  B )  =  ( abs `  B
) )
7771, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  gcd  B )  =  ( abs `  B ) )
78 nnnn0 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
79 nn0ge0 9201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  NN0  ->  0  <_  B )
801, 78, 793syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  B )
815, 80absidd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  B )  =  B )
8277, 81eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  gcd  B )  =  B )
8382eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( B  gcd  B )  =  1  <->  B  =  1
) )
8483ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B  gcd  B )  =  1  <->  B  =  1
) )
854, 6gtned 8070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  =/=  1 )
86 eqneqall 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  1  ->  ( B  =/=  1  -> F.  ) )
8785, 86syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  =  1  -> F.  ) )
8887ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( B  =  1  -> F.  ) )
8984, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B  gcd  B )  =  1  -> F.  )
)
9075, 89sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
( B ^ m
)  gcd  B )  =  1  -> F.  ) )
9190adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( B ^ m )  =  ( X ^
n ) )  -> 
( ( ( B ^ m )  gcd 
B )  =  1  -> F.  ) )
9270, 91sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( B ^ m )  =  ( X ^
n ) )  -> 
( ( ( X ^ n )  gcd 
B )  =  1  -> F.  ) )
9392ex 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B ^ m )  =  ( X ^ n
)  ->  ( (
( X ^ n
)  gcd  B )  =  1  -> F.  ) ) )
9493com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
( X ^ n
)  gcd  B )  =  1  ->  (
( B ^ m
)  =  ( X ^ n )  -> F.  ) ) )
9566, 94syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( X  gcd  B )  =  1  ->  ( ( B ^ m )  =  ( X ^ n
)  -> F.  )
) )
96 dfnot 1371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( B ^ m
)  =  ( X ^ n )  <->  ( ( B ^ m )  =  ( X ^ n
)  -> F.  )
)
9795, 96imbitrrdi 162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( X  gcd  B )  =  1  ->  -.  ( B ^ m )  =  ( X ^ n
) ) )
9897con2d 624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B ^ m )  =  ( X ^ n
)  ->  -.  ( X  gcd  B )  =  1 ) )
9963, 98sylbid 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
( B  ^c 
( m  /  n
) ) ^ n
)  =  ( X ^ n )  ->  -.  ( X  gcd  B
)  =  1 ) )
10036, 99syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B  ^c  ( m  /  n ) )  =  X  ->  -.  ( X  gcd  B )  =  1 ) )
10135, 100syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( ( B logb 
X )  =  ( m  /  n )  ->  -.  ( X  gcd  B )  =  1 ) )
102101rexlimdvva 2602 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( B logb  X )  =  ( m  /  n )  ->  -.  ( X  gcd  B )  =  1 ) )
10327, 102syld 45 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( B logb 
X )  e.  QQ  ->  -.  ( X  gcd  B )  =  1 ) )
104103con2d 624 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( X  gcd  B )  =  1  ->  -.  ( B logb 
X )  e.  QQ ) )
1051043impia 1200 . 2  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( X  gcd  B
)  =  1 )  ->  -.  ( B logb  X
)  e.  QQ )
10613, 105eldifd 3140 1  |-  ( ( X  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( X  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( B logb  X )  e.  ( RR  \  QQ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353   F. wfal 1358    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456    \ cdif 3127   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812    x. cmul 7816    < clt 7992    <_ cle 7993   # cap 8538    / cdiv 8629   NNcn 8919   2c2 8970   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   QQcq 9619   RR+crp 9653   ^cexp 10519   abscabs 11006    gcd cgcd 11943    ^c ccxp 14281   logb clogb 14364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-e 11657  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129  df-relog 14282  df-rpcxp 14283  df-logb 14365
This theorem is referenced by:  2logb9irr  14392  logbprmirr  14393
  Copyright terms: Public domain W3C validator