Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logbgcd1irr Unicode version

Theorem logbgcd1irr 13112
 Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example, logb (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr logb

Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9408 . . . . 5
21nnrpd 9531 . . . 4
4 1red 7825 . . . . 5
5 eluzelre 9380 . . . . 5
6 eluz2gt1 9443 . . . . 5
74, 5, 6gtapd 8443 . . . 4 #
873ad2ant2 1004 . . 3 #
9 eluz2nn 9408 . . . . 5
109nnrpd 9531 . . . 4
12 rplogbcl 13091 . . 3 # logb
133, 8, 11, 12syl3anc 1217 . 2 logb
14 eluz2gt1 9443 . . . . . . . . . 10
1514adantr 274 . . . . . . . . 9
169adantr 274 . . . . . . . . . . 11
1716nnrpd 9531 . . . . . . . . . 10
181adantl 275 . . . . . . . . . . 11
1918nnrpd 9531 . . . . . . . . . 10
206adantl 275 . . . . . . . . . 10
21 logbgt0b 13111 . . . . . . . . . 10 logb
2217, 19, 20, 21syl12anc 1215 . . . . . . . . 9 logb
2315, 22mpbird 166 . . . . . . . 8 logb
2423anim1ci 339 . . . . . . 7 logb logb logb
25 elpq 9487 . . . . . . 7 logb logb logb
2624, 25syl 14 . . . . . 6 logb logb
2726ex 114 . . . . 5 logb logb
28 oveq2 5791 . . . . . . . . . 10 logb logb
2928eqcoms 2143 . . . . . . . . 9 logb logb
307adantl 275 . . . . . . . . . . 11 #
31 rpcxplogb 13109 . . . . . . . . . . 11 # logb
3219, 30, 17, 31syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10 logb
3332adantr 274 . . . . . . . . 9 logb
3429, 33sylan9eqr 2195 . . . . . . . 8 logb
3534ex 114 . . . . . . 7 logb
36 oveq1 5790 . . . . . . . 8
3719adantr 274 . . . . . . . . . . . 12
38 nnrp 9500 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . 14
40 nnrp 9500 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140ad2antll 483 . . . . . . . . . . . . . 14
4239, 41rpdivcld 9551 . . . . . . . . . . . . 13
4342rpred 9533 . . . . . . . . . . . 12
44 nncn 8772 . . . . . . . . . . . . 13
4544ad2antll 483 . . . . . . . . . . . 12
4637, 43, 45cxpmuld 13084 . . . . . . . . . . 11
4739rpcnd 9535 . . . . . . . . . . . . . 14
4841rpap0d 9539 . . . . . . . . . . . . . 14 #
4947, 45, 48divcanap1d 8595 . . . . . . . . . . . . 13
5049oveq2d 5799 . . . . . . . . . . . 12
511ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13
52 nnz 9117 . . . . . . . . . . . . . 14
5352ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . 13
54 cxpexpnn 13045 . . . . . . . . . . . . 13
5551, 53, 54syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
5650, 55eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11
5737, 43rpcxpcld 13080 . . . . . . . . . . . 12
58 nnz 9117 . . . . . . . . . . . . 13
5958ad2antll 483 . . . . . . . . . . . 12
60 cxpexprp 13044 . . . . . . . . . . . 12
6157, 59, 60syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11
6246, 56, 613eqtr3rd 2182 . . . . . . . . . 10
6362eqeq1d 2149 . . . . . . . . 9
64 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13
65 rplpwr 11771 . . . . . . . . . . . . 13
6616, 18, 64, 65syl2an3an 1277 . . . . . . . . . . . 12
67 oveq1 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968eqcoms 2143 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 eluzelz 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7271adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 rpexp 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7572, 72, 73, 74syl2an3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 gcdid 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7771, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
78 nnnn0 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
79 nn0ge0 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
801, 78, 793syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
815, 80absidd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8277, 81eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8382eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
854, 6gtned 7920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86 eqneqall 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8785, 86syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8887ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8984, 88sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9075, 89sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15
9270, 91sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . 14
9392ex 114 . . . . . . . . . . . . 13
9493com23 78 . . . . . . . . . . . 12
9566, 94syld 45 . . . . . . . . . . 11
96 dfnot 1350 . . . . . . . . . . 11
9795, 96syl6ibr 161 . . . . . . . . . 10
9897con2d 614 . . . . . . . . 9
9963, 98sylbid 149 . . . . . . . 8
10036, 99syl5 32 . . . . . . 7
10135, 100syld 45 . . . . . 6 logb
102101rexlimdvva 2561 . . . . 5 logb
10327, 102syld 45 . . . 4 logb
104103con2d 614 . . 3 logb
1051043impia 1179 . 2 logb
10613, 105eldifd 3087 1 logb
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wfal 1337   wcel 1481   wne 2309  wrex 2418   cdif 3074   class class class wbr 3938  cfv 5132  (class class class)co 5783  cc 7662  cr 7663  cc0 7664  c1 7665   cmul 7669   clt 7844   cle 7845   # cap 8387   cdiv 8476  cn 8764  c2 8815  cn0 9021  cz 9098  cuz 9370  cq 9458  crp 9490  cexp 10343  cabs 10821   cgcd 11691   ccxp 13006   logb clogb 13088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784  ax-pre-suploc 7785  ax-addf 7786  ax-mulf 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-disj 3916  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-of 5991  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-irdg 6276  df-frec 6297  df-1o 6322  df-2o 6323  df-oadd 6326  df-er 6438  df-map 6553  df-pm 6554  df-en 6644  df-dom 6645  df-fin 6646  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-ioo 9725  df-ico 9727  df-icc 9728  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-fl 10094  df-mod 10147  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-fac 10524  df-bc 10546  df-ihash 10574  df-shft 10639  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100  df-sumdc 11175  df-ef 11411  df-e 11412  df-dvds 11550  df-gcd 11692  df-prm 11845  df-rest 12181  df-topgen 12200  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-met 12217  df-bl 12218  df-mopn 12219  df-top 12224  df-topon 12237  df-bases 12269  df-ntr 12324  df-cn 12416  df-cnp 12417  df-tx 12481  df-cncf 12786  df-limced 12853  df-dvap 12854  df-relog 13007  df-rpcxp 13008  df-logb 13089 This theorem is referenced by:  2logb9irr  13116  logbprmirr  13117
 Copyright terms: Public domain W3C validator