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Theorem logbgcd1irr 15963
Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example, ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. ( RR \ QQ ) )
Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9920 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
21nnrpd 10049 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR+ )
323ad2ant2 1046 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> B e. RR+ )
4 1red 8306 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
5 eluzelre 9886 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR )
6 eluz2gt1 9956 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
74, 5, 6gtapd 8930 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B # 1 )
873ad2ant2 1046 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> B # 1 )
9 eluz2nn 9920 . . . . 5 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> X e. NN )
109nnrpd 10049 . . . 4 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> X e. RR+ )
11103ad2ant1 1045 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> X e. RR+ )
12 rplogbcl 15942 . . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ X e. RR+ ) -> ( B logb X ) e. RR )
133, 8, 11, 12syl3anc 1274 . 2 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. RR )
14 eluz2gt1 9956 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < X )
1514adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < X )
169adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> X e. NN )
1716nnrpd 10049 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> X e. RR+ )
181adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. NN )
1918nnrpd 10049 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. RR+ )
206adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < B )
21 logbgt0b 15962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. RR+ /\ ( B e. RR+ /\ 1 < B ) ) -> ( 0 < ( B logb X ) <-> 1 < X ) )
2217, 19, 20, 21syl12anc 1272 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( B logb X ) <-> 1 < X ) )
2315, 22mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( B logb X ) )
2423anim1ci 341 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( B logb X ) e. QQ ) -> ( ( B logb X ) e. QQ /\ 0 < ( B logb X ) ) )
25 elpq 10003 . . . . . . 7 |- ( ( ( B logb X ) e. QQ /\ 0 < ( B logb X ) ) -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( B logb X ) e. QQ ) -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) )
2726ex 115 . . . . 5 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B logb X ) e. QQ -> E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) ) )
28 oveq2 6067 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m / n ) = ( B logb X ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = ( B ^c ( B logb X ) ) )
2928eqcoms 2237 . . . . . . . . 9 |- ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = ( B ^c ( B logb X ) ) )
307adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B # 1 )
31 rpcxplogb 15960 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ X e. RR+ ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3219, 30, 17, 31syl3anc 1274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3332adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )
3429, 33sylan9eqr 2289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B logb X ) = ( m / n ) ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = X )
3534ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> ( B ^c ( m / n ) ) = X ) )
36 oveq1 6066 . . . . . . . 8 |- ( ( B ^c ( m / n ) ) = X -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) )
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> B e. RR+ )
38 nnrp 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
3938ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. RR+ )
40 nnrp 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
4140ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. RR+ )
4239, 41rpdivcld 10069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( m / n ) e. RR+ )
4342rpred 10051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( m / n ) e. RR )
44 nncn 9266 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. CC )
4544ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. CC )
4637, 43, 45cxpmuld 15933 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) )
4739rpcnd 10053 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. CC )
4841rpap0d 10057 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n # 0 )
4947, 45, 48divcanap1d 9086 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( m / n ) x. n ) = m )
5049oveq2d 6075 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( B ^c m ) )
511ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> B e. NN )
52 nnz 9617 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
5352ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> m e. ZZ )
54 cxpexpnn 15892 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. NN /\ m e. ZZ ) -> ( B ^c m ) = ( B ^ m ) )
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c m ) = ( B ^ m ) )
5650, 55eqtrd 2267 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( ( m / n ) x. n ) ) = ( B ^ m ) )
5737, 43rpcxpcld 15929 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B ^c ( m / n ) ) e. RR+ )
58 nnz 9617 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
5958ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> n e. ZZ )
60 cxpexprp 15891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B ^c ( m / n ) ) e. RR+ /\ n e. ZZ ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) )
6157, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^c n ) = ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) )
6246, 56, 613eqtr3rd 2276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( B ^ m ) )
6362eqeq1d 2243 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) <-> ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) )
64 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> n e. NN )
65 rplpwr 12753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. NN /\ B e. NN /\ n e. NN ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 ) )
6616, 18, 64, 65syl2an3an 1335 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 ) )
67 oveq1 6066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X ^ n ) = ( B ^ m ) -> ( ( X ^ n ) gcd B ) = ( ( B ^ m ) gcd B ) )
6867eqeq1d 2243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ^ n ) = ( B ^ m ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
6968eqcoms 2237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 <-> ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 ) )
71 eluzelz 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ZZ )
73 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> m e. NN )
74 rpexp 12880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ B e. ZZ /\ m e. NN ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 <-> ( B gcd B ) = 1 ) )
7572, 72, 73, 74syl2an3an 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 <-> ( B gcd B ) = 1 ) )
76 gcdid 12712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ZZ -> ( B gcd B ) = ( abs ` B ) )
7771, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B gcd B ) = ( abs ` B ) )
78 nnnn0 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
79 nn0ge0 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
801, 78, 793syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ B )
815, 80absidd 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` B ) = B )
8277, 81eqtrd 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B gcd B ) = B )
8382eqeq1d 2243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( B gcd B ) = 1 <-> B = 1 ) )
8483ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B gcd B ) = 1 <-> B = 1 ) )
854, 6gtned 8403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B =/= 1 )
86 eqneqall 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B = 1 -> ( B =/= 1 -> F. ) )
8785, 86syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B = 1 -> F. ) )
8887ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( B = 1 -> F. ) )
8984, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B gcd B ) = 1 -> F. ) )
9075, 89sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9190adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( B ^ m ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9270, 91sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> F. ) )
9392ex 115 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> F. ) ) )
9493com23 78 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( X ^ n ) gcd B ) = 1 -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) ) )
9566, 94syld 45 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) ) )
96 dfnot 1416 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( B ^ m ) = ( X ^ n ) <-> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> F. ) )
9795, 96imbitrrdi 162 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> -. ( B ^ m ) = ( X ^ n ) ) )
9897con2d 629 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^ m ) = ( X ^ n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
9963, 98sylbid 150 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( B ^c ( m / n ) ) ^ n ) = ( X ^ n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10036, 99syl5 32 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B ^c ( m / n ) ) = X -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10135, 100syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( B logb X ) = ( m / n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
102101rexlimdvva 2670 . . . . 5 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( B logb X ) = ( m / n ) -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
10327, 102syld 45 . . . 4 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B logb X ) e. QQ -> -. ( X gcd B ) = 1 ) )
104103con2d 629 . . 3 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( X gcd B ) = 1 -> -. ( B logb X ) e. QQ ) )
1051043impia 1227 . 2 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> -. ( B logb X ) e. QQ )
10613, 105eldifd 3224 1 |- ( ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( X gcd B ) = 1 ) -> ( B logb X ) e. ( RR \ QQ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   F. wfal 1403   e. wcel 2205   =/= wne 2414   E.wrex 2523   \ cdif 3211   class class class wbr 4115   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   CCcc 8142   RRcr 8143   0cc0 8144   1c1 8145   x. cmul 8149   < clt 8325   <_ cle 8326   # cap 8874   / cdiv 8967   NNcn 9258   2c2 9309   NN0cn0 9517   ZZcz 9598   ZZ>=cuz 9875   QQcq 9973   RR+crp 10008   ^cexp 10928   abscabs 11712   gcd cgcd 12679   ^c ccxp 15853   logb clogb 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264  ax-pre-suploc 8265  ax-addf 8266  ax-mulf 8267
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-disj 4092  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-of 6276  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-frec 6636  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6781  df-map 6898  df-pm 6899  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-sup 7289  df-inf 7290  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-xneg 10128  df-xadd 10129  df-ioo 10248  df-ico 10250  df-icc 10251  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-fac 11117  df-bc 11139  df-ihash 11168  df-shft 11529  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-clim 11994  df-sumdc 12069  df-ef 12364  df-e 12365  df-dvds 12504  df-gcd 12680  df-prm 12835  df-rest 13543  df-topgen 13562  df-psmet 14822  df-xmet 14823  df-met 14824  df-bl 14825  df-mopn 14826  df-top 14994  df-topon 15007  df-bases 15039  df-ntr 15092  df-cn 15184  df-cnp 15185  df-tx 15249  df-cncf 15567  df-limced 15652  df-dvap 15653  df-relog 15854  df-rpcxp 15855  df-logb 15940
This theorem is referenced by:  2logb9irr  15967  logbprmirr  15968
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