Theorem ennnfonelemim 12641

Description: Lemma for ennnfone 12642. The trivial direction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemim	|- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, j, n   x, A, y, n   f, k, j, n   y, j

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ennnfonelemim

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ennn 10525	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
2	1	ensymi 6841	. . 3 |- NN ~~ NN0
3		entr 6843	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ NN0 ) -> A ~~ NN0 )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A ~~ NN -> A ~~ NN0 )
5		bren 6806	. . . 4 |- ( A ~~ NN0 <-> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A ~~ NN0 -> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
7		f1of 5504	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> g : A --> NN0 )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> g : A --> NN0 )
9		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
10	8, 9	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9446	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
12		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
13	8, 12	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9446	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. ZZ )
15		zdceq 9401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g ` x ) e. ZZ /\ ( g ` y ) e. ZZ ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
17		dff1o6 5823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 <-> ( g Fn A /\ ran g = NN0 /\ A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) ) )
18	17	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
19	18	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) -> A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
20	19	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
21	20	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
22		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
23	21, 22	impbid1 142	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> x = y ) )
24	23	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> (DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> DECID x = y ) )
25	16, 24	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
26	25	ralrimivva 2579	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
27		f1ocnv 5517	. . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -1-1-onto-> A )
28		f1ofo 5511	. . . . . . 7 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A -> `' g : NN0 -onto-> A )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -onto-> A )
30		peano2nn0 9289	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
32		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j e. NN0 )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. NN0 )
34	33	nn0red 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. RR )
35		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j <_ n )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j <_ n )
37		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
38		nn0leltp1 9389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j < ( n + 1 ) )
41	34, 40	gtned 8139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) =/= j )
42	41	neneqd 2388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( n + 1 ) = j )
43		dff1o6 5823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A <-> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
44	27, 43	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
45	44	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
47	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
48		fveqeq2 5567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) ) )
49		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x = y <-> ( n + 1 ) = y ) )
50	48, 49	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) ) )
51		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( `' g ` y ) = ( `' g ` j ) )
52	51	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) ) )
53		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( n + 1 ) = y <-> ( n + 1 ) = j ) )
54	52, 53	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> ( ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
55	50, 54	rspc2v 2881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
56	47, 33, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
57	46, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) )
58	42, 57	mtod 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) )
59	58	neqned 2374	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
60	59	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
61		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( `' g ` k ) = ( `' g ` ( n + 1 ) ) )
62	61	neeq1d 2385	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
63	62	ralbidv 2497	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
64	63	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
65	31, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
66	65	ralrimiva 2570	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
67		cnvexg 5207	. . . . . . . 8 |- ( g e. _V -> `' g e. _V )
68	67	elv 2767	. . . . . . 7 |- `' g e. _V
69		foeq1 5476	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( f : NN0 -onto-> A <-> `' g : NN0 -onto-> A ) )
70		fveq1 5557	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` k ) = ( `' g ` k ) )
71		fveq1 5557	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` j ) = ( `' g ` j ) )
72	70, 71	neeq12d 2387	. . . . . . . . . 10 |- ( f = `' g -> ( ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
73	72	rexralbidv 2523	. . . . . . . . 9 |- ( f = `' g -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
75	69, 74	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( f = `' g -> ( ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) <-> ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) ) )
76	68, 75	spcev 2859	. . . . . 6 |- ( ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
77	29, 66, 76	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
78	26, 77	jca 306	. . . 4 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
79	78	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~~ NN0 /\ g : A -1-1-onto-> NN0 ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
80	6, 79	exlimddv 1913	. 2 |- ( A ~~ NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
81	4, 80	syl 14	1 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   `'ccnv 4662   ran crn 4664   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ~~ cen 6797   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  ennnfone  12642