Theorem ennnfonelemim 13259

Description: Lemma for ennnfone 13260. The trivial direction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemim	|- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, j, n   x, A, y, n   f, k, j, n   y, j

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ennnfonelemim

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ennn 10819	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
2	1	ensymi 7035	. . 3 |- NN ~~ NN0
3		entr 7037	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ NN0 ) -> A ~~ NN0 )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A ~~ NN -> A ~~ NN0 )
5		bren 6996	. . . 4 |- ( A ~~ NN0 <-> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A ~~ NN0 -> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
7		f1of 5619	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> g : A --> NN0 )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> g : A --> NN0 )
9		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
10	8, 9	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9716	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
12		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
13	8, 12	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9716	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. ZZ )
15		zdceq 9670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g ` x ) e. ZZ /\ ( g ` y ) e. ZZ ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
17		dff1o6 5955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 <-> ( g Fn A /\ ran g = NN0 /\ A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) ) )
18	17	simp3bi 1041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
19	18	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) -> A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
20	19	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
21	20	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
22		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
23	21, 22	impbid1 142	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> x = y ) )
24	23	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> (DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> DECID x = y ) )
25	16, 24	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
26	25	ralrimivva 2626	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
27		f1ocnv 5632	. . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -1-1-onto-> A )
28		f1ofo 5626	. . . . . . 7 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A -> `' g : NN0 -onto-> A )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -onto-> A )
30		peano2nn0 9553	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
32		elfznn0 10470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j e. NN0 )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. NN0 )
34	33	nn0red 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. RR )
35		elfzle2 10382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j <_ n )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j <_ n )
37		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
38		nn0leltp1 9658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j < ( n + 1 ) )
41	34, 40	gtned 8402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) =/= j )
42	41	neneqd 2435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( n + 1 ) = j )
43		dff1o6 5955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A <-> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
44	27, 43	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
45	44	simp3d 1038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
47	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
48		fveqeq2 5684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) ) )
49		eqeq1 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x = y <-> ( n + 1 ) = y ) )
50	48, 49	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) ) )
51		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( `' g ` y ) = ( `' g ` j ) )
52	51	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) ) )
53		eqeq2 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( n + 1 ) = y <-> ( n + 1 ) = j ) )
54	52, 53	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> ( ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
55	50, 54	rspc2v 2937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
56	47, 33, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
57	46, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) )
58	42, 57	mtod 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) )
59	58	neqned 2421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
60	59	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
61		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( `' g ` k ) = ( `' g ` ( n + 1 ) ) )
62	61	neeq1d 2432	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
63	62	ralbidv 2544	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
64	63	rspcev 2923	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
65	31, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
66	65	ralrimiva 2617	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
67		cnvexg 5305	. . . . . . . 8 |- ( g e. _V -> `' g e. _V )
68	67	elv 2819	. . . . . . 7 |- `' g e. _V
69		foeq1 5591	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( f : NN0 -onto-> A <-> `' g : NN0 -onto-> A ) )
70		fveq1 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` k ) = ( `' g ` k ) )
71		fveq1 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` j ) = ( `' g ` j ) )
72	70, 71	neeq12d 2434	. . . . . . . . . 10 |- ( f = `' g -> ( ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
73	72	rexralbidv 2570	. . . . . . . . 9 |- ( f = `' g -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2544	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
75	69, 74	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( f = `' g -> ( ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) <-> ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) ) )
76	68, 75	spcev 2914	. . . . . 6 |- ( ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
77	29, 66, 76	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
78	26, 77	jca 306	. . . 4 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
79	78	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~~ NN0 /\ g : A -1-1-onto-> NN0 ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
80	6, 79	exlimddv 1950	. 2 |- ( A ~~ NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
81	4, 80	syl 14	1 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   `'ccnv 4753   ran crn 4755   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ~~ cen 6986   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-er 6780  df-en 6989  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  ennnfone  13260