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Theorem ennnfonelemim 11782
Description: Lemma for ennnfone 11783. The trivial direction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemim  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e.  NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( f `  k )  =/=  (
f `  j )
) ) )
Distinct variable groups:    A, f, j, n    x, A, y, n    f, k, j, n    y, j
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem ennnfonelemim
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ennn 10099 . . . 4  |-  NN0  ~~  NN
21ensymi 6630 . . 3  |-  NN  ~~  NN0
3 entr 6632 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN0 )  ->  A  ~~  NN0 )
42, 3mpan2 419 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  NN0 )
5 bren 6595 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN0  <->  E. g  g : A -1-1-onto-> NN0 )
65biimpi 119 . . 3  |-  ( A 
~~  NN0  ->  E. g 
g : A -1-1-onto-> NN0 )
7 f1of 5323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  g : A
--> NN0 )
87adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  g : A --> NN0 )
9 simprl 503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
108, 9ffvelrnd 5510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
g `  x )  e.  NN0 )
1110nn0zd 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
g `  x )  e.  ZZ )
12 simprr 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
138, 12ffvelrnd 5510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
g `  y )  e.  NN0 )
1413nn0zd 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
g `  y )  e.  ZZ )
15 zdceq 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g `  x
)  e.  ZZ  /\  ( g `  y
)  e.  ZZ )  -> DECID 
( g `  x
)  =  ( g `
 y ) )
1611, 14, 15syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  -> DECID  ( g `  x
)  =  ( g `
 y ) )
17 dff1o6 5631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  <->  ( g  Fn  A  /\  ran  g  =  NN0  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
g `  x )  =  ( g `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1817simp3bi 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
g `  x )  =  ( g `  y )  ->  x  =  y ) )
1918r19.21bi 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  ( ( g `  x )  =  ( g `  y )  ->  x  =  y ) )
2019r19.21bi 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
g `  x )  =  ( g `  y )  ->  x  =  y ) )
2120anasss 394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( g `  x
)  =  ( g `
 y )  ->  x  =  y )
)
22 fveq2 5375 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
2321, 22impbid1 141 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( g `  x
)  =  ( g `
 y )  <->  x  =  y ) )
2423dcbid 806 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (DECID  (
g `  x )  =  ( g `  y )  <-> DECID  x  =  y
) )
2516, 24mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  -> DECID  x  =  y
)
2625ralrimivva 2488 . . . . 5  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
27 f1ocnv 5336 . . . . . . 7  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  `' g : NN0
-1-1-onto-> A )
28 f1ofo 5330 . . . . . . 7  |-  ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A  ->  `' g : NN0 -onto-> A )
2927, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  `' g : NN0 -onto-> A )
30 peano2nn0 8921 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
3130adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  +  1 )  e.  NN0 )
32 elfznn0 9787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... n )  ->  j  e.  NN0 )
3332adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  j  e.  NN0 )
3433nn0red 8935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  j  e.  RR )
35 elfzle2 9701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... n )  ->  j  <_  n )
3635adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  j  <_  n
)
37 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 nn0leltp1 9021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( j  <_  n  <->  j  <  ( n  + 
1 ) ) )
3933, 37, 38syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( j  <_  n 
<->  j  <  ( n  +  1 ) ) )
4036, 39mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  j  <  (
n  +  1 ) )
4134, 40gtned 7799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( n  + 
1 )  =/=  j
)
4241neneqd 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  -.  ( n  +  1 )  =  j )
43 dff1o6 5631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A  <->  ( `' g  Fn  NN0  /\  ran  `' g  =  A  /\  A. x  e.  NN0  A. y  e.  NN0  ( ( `' g `  x )  =  ( `' g `
 y )  ->  x  =  y )
) )
4427, 43sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  ( `' g  Fn  NN0  /\  ran  `' g  =  A  /\  A. x  e.  NN0  A. y  e.  NN0  ( ( `' g `  x )  =  ( `' g `
 y )  ->  x  =  y )
) )
4544simp3d 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  A. x  e.  NN0  A. y  e. 
NN0  ( ( `' g `  x )  =  ( `' g `
 y )  ->  x  =  y )
)
4645ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  A. x  e.  NN0  A. y  e.  NN0  (
( `' g `  x )  =  ( `' g `  y
)  ->  x  =  y ) )
4731adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN0 )
48 fveqeq2 5384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( `' g `  x )  =  ( `' g `  y
)  <->  ( `' g `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( `' g `  y ) ) )
49 eqeq1 2121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  =  y  <->  ( n  +  1 )  =  y ) )
5048, 49imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( `' g `
 x )  =  ( `' g `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( `' g `  (
n  +  1 ) )  =  ( `' g `  y )  ->  ( n  + 
1 )  =  y ) ) )
51 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  j  ->  ( `' g `  y
)  =  ( `' g `  j ) )
5251eqeq2d 2126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  j  ->  (
( `' g `  ( n  +  1
) )  =  ( `' g `  y
)  <->  ( `' g `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( `' g `  j ) ) )
53 eqeq2 2124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  j  ->  (
( n  +  1 )  =  y  <->  ( n  +  1 )  =  j ) )
5452, 53imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  j  ->  (
( ( `' g `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( `' g `  y )  ->  (
n  +  1 )  =  y )  <->  ( ( `' g `  (
n  +  1 ) )  =  ( `' g `  j )  ->  ( n  + 
1 )  =  j ) ) )
5550, 54rspc2v 2772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( A. x  e. 
NN0  A. y  e.  NN0  ( ( `' g `
 x )  =  ( `' g `  y )  ->  x  =  y )  -> 
( ( `' g `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( `' g `  j )  ->  (
n  +  1 )  =  j ) ) )
5647, 33, 55syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( A. x  e.  NN0  A. y  e. 
NN0  ( ( `' g `  x )  =  ( `' g `
 y )  ->  x  =  y )  ->  ( ( `' g `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( `' g `  j )  ->  (
n  +  1 )  =  j ) ) )
5746, 56mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( `' g `  ( n  +  1 ) )  =  ( `' g `
 j )  -> 
( n  +  1 )  =  j ) )
5842, 57mtod 635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  -.  ( `' g `  ( n  +  1 ) )  =  ( `' g `
 j ) )
5958neqned 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( `' g `
 ( n  + 
1 ) )  =/=  ( `' g `  j ) )
6059ralrimiva 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. j  e.  (
0 ... n ) ( `' g `  (
n  +  1 ) )  =/=  ( `' g `  j ) )
61 fveq2 5375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( `' g `  k
)  =  ( `' g `  ( n  +  1 ) ) )
6261neeq1d 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( `' g `  k )  =/=  ( `' g `  j
)  <->  ( `' g `
 ( n  + 
1 ) )  =/=  ( `' g `  j ) ) )
6362ralbidv 2411 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... n ) ( `' g `  k
)  =/=  ( `' g `  j )  <->  A. j  e.  (
0 ... n ) ( `' g `  (
n  +  1 ) )  =/=  ( `' g `  j ) ) )
6463rspcev 2760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( `' g `  (
n  +  1 ) )  =/=  ( `' g `  j ) )  ->  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( `' g `
 k )  =/=  ( `' g `  j ) )
6531, 60, 64syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( `' g `  k
)  =/=  ( `' g `  j ) )
6665ralrimiva 2479 . . . . . 6  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  A. n  e.  NN0  E. k  e. 
NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( `' g `  k )  =/=  ( `' g `  j
) )
67 cnvexg 5034 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  _V  ->  `' g  e.  _V )
6867elv 2661 . . . . . . 7  |-  `' g  e.  _V
69 foeq1 5299 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  `' g  -> 
( f : NN0 -onto-> A  <->  `' g : NN0 -onto-> A ) )
70 fveq1 5374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  `' g  -> 
( f `  k
)  =  ( `' g `  k ) )
71 fveq1 5374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  `' g  -> 
( f `  j
)  =  ( `' g `  j ) )
7270, 71neeq12d 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  `' g  -> 
( ( f `  k )  =/=  (
f `  j )  <->  ( `' g `  k
)  =/=  ( `' g `  j ) ) )
7372rexralbidv 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  `' g  -> 
( E. k  e. 
NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( f `  k
)  =/=  ( f `
 j )  <->  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( `' g `
 k )  =/=  ( `' g `  j ) ) )
7473ralbidv 2411 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  `' g  -> 
( A. n  e. 
NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( f `  k )  =/=  ( f `  j )  <->  A. n  e.  NN0  E. k  e. 
NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( `' g `  k )  =/=  ( `' g `  j
) ) )
7569, 74anbi12d 462 . . . . . . 7  |-  ( f  =  `' g  -> 
( ( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e.  NN0  E. k  e. 
NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( f `  k
)  =/=  ( f `
 j ) )  <-> 
( `' g : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e.  NN0  E. k  e. 
NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( `' g `  k )  =/=  ( `' g `  j
) ) ) )
7668, 75spcev 2751 . . . . . 6  |-  ( ( `' g : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e. 
NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( `' g `  k
)  =/=  ( `' g `  j ) )  ->  E. f
( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e. 
NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( f `  k )  =/=  ( f `  j ) ) )
7729, 66, 76syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  E. f
( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e. 
NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( f `  k )  =/=  ( f `  j ) ) )
7826, 77jca 302 . . . 4  |-  ( g : A -1-1-onto-> NN0  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e.  NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( f `  k )  =/=  (
f `  j )
) ) )
7978adantl 273 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN0  /\  g : A -1-1-onto-> NN0 )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f
( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e. 
NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( f `  k )  =/=  ( f `  j ) ) ) )
806, 79exlimddv 1852 . 2  |-  ( A 
~~  NN0  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e.  NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( f `  k )  =/=  (
f `  j )
) ) )
814, 80syl 14 1  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : NN0 -onto-> A  /\  A. n  e.  NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( f `  k )  =/=  (
f `  j )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    =/= wne 2282   A.wral 2390   E.wrex 2391   _Vcvv 2657   class class class wbr 3895   `'ccnv 4498   ran crn 4500    Fn wfn 5076   -->wf 5077   -onto->wfo 5079   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728    ~~ cen 6586   0cc0 7547   1c1 7548    + caddc 7550    < clt 7724    <_ cle 7725   NNcn 8630   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   ...cfz 9683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-er 6383  df-en 6589  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684
This theorem is referenced by:  ennnfone  11783
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