Theorem ennnfonelemim 12408

Description: Lemma for ennnfone 12409. The trivial direction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemim	|- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, j, n   x, A, y, n   f, k, j, n   y, j

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ennnfonelemim

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ennn 10419	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
2	1	ensymi 6776	. . 3 |- NN ~~ NN0
3		entr 6778	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ NN0 ) -> A ~~ NN0 )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A ~~ NN -> A ~~ NN0 )
5		bren 6741	. . . 4 |- ( A ~~ NN0 <-> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A ~~ NN0 -> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
7		f1of 5457	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> g : A --> NN0 )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> g : A --> NN0 )
9		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
10	8, 9	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
12		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
13	8, 12	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. ZZ )
15		zdceq 9317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g ` x ) e. ZZ /\ ( g ` y ) e. ZZ ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
17		dff1o6 5771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 <-> ( g Fn A /\ ran g = NN0 /\ A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) ) )
18	17	simp3bi 1014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
19	18	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) -> A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
20	19	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
21	20	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
22		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
23	21, 22	impbid1 142	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> x = y ) )
24	23	dcbid 838	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> (DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> DECID x = y ) )
25	16, 24	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
26	25	ralrimivva 2559	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
27		f1ocnv 5470	. . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -1-1-onto-> A )
28		f1ofo 5464	. . . . . . 7 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A -> `' g : NN0 -onto-> A )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -onto-> A )
30		peano2nn0 9205	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
32		elfznn0 10100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j e. NN0 )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. NN0 )
34	33	nn0red 9219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. RR )
35		elfzle2 10014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j <_ n )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j <_ n )
37		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
38		nn0leltp1 9305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j < ( n + 1 ) )
41	34, 40	gtned 8060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) =/= j )
42	41	neneqd 2368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( n + 1 ) = j )
43		dff1o6 5771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A <-> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
44	27, 43	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
45	44	simp3d 1011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
47	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
48		fveqeq2 5520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) ) )
49		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x = y <-> ( n + 1 ) = y ) )
50	48, 49	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) ) )
51		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( `' g ` y ) = ( `' g ` j ) )
52	51	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) ) )
53		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( n + 1 ) = y <-> ( n + 1 ) = j ) )
54	52, 53	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> ( ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
55	50, 54	rspc2v 2854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
56	47, 33, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
57	46, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) )
58	42, 57	mtod 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) )
59	58	neqned 2354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
60	59	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
61		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( `' g ` k ) = ( `' g ` ( n + 1 ) ) )
62	61	neeq1d 2365	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
63	62	ralbidv 2477	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
64	63	rspcev 2841	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
65	31, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
66	65	ralrimiva 2550	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
67		cnvexg 5162	. . . . . . . 8 |- ( g e. _V -> `' g e. _V )
68	67	elv 2741	. . . . . . 7 |- `' g e. _V
69		foeq1 5430	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( f : NN0 -onto-> A <-> `' g : NN0 -onto-> A ) )
70		fveq1 5510	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` k ) = ( `' g ` k ) )
71		fveq1 5510	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` j ) = ( `' g ` j ) )
72	70, 71	neeq12d 2367	. . . . . . . . . 10 |- ( f = `' g -> ( ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
73	72	rexralbidv 2503	. . . . . . . . 9 |- ( f = `' g -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2477	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
75	69, 74	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( f = `' g -> ( ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) <-> ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) ) )
76	68, 75	spcev 2832	. . . . . 6 |- ( ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
77	29, 66, 76	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
78	26, 77	jca 306	. . . 4 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
79	78	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~~ NN0 /\ g : A -1-1-onto-> NN0 ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
80	6, 79	exlimddv 1898	. 2 |- ( A ~~ NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
81	4, 80	syl 14	1 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000   `'ccnv 4622   ran crn 4624   Fn wfn 5207   -->wf 5208   -onto->wfo 5210   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ~~ cen 6732   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-er 6529  df-en 6735  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996

This theorem is referenced by:  ennnfone  12409