Theorem ennnfonelemim 12439

Description: Lemma for ennnfone 12440. The trivial direction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemim	|- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, j, n   x, A, y, n   f, k, j, n   y, j

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ennnfonelemim

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ennn 10447	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
2	1	ensymi 6796	. . 3 |- NN ~~ NN0
3		entr 6798	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ NN0 ) -> A ~~ NN0 )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A ~~ NN -> A ~~ NN0 )
5		bren 6761	. . . 4 |- ( A ~~ NN0 <-> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A ~~ NN0 -> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
7		f1of 5473	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> g : A --> NN0 )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> g : A --> NN0 )
9		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
10	8, 9	ffvelcdmd 5665	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9387	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
12		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
13	8, 12	ffvelcdmd 5665	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9387	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. ZZ )
15		zdceq 9342	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g ` x ) e. ZZ /\ ( g ` y ) e. ZZ ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
17		dff1o6 5790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 <-> ( g Fn A /\ ran g = NN0 /\ A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) ) )
18	17	simp3bi 1015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
19	18	r19.21bi 2575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) -> A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
20	19	r19.21bi 2575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
21	20	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
22		fveq2 5527	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
23	21, 22	impbid1 142	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> x = y ) )
24	23	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> (DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> DECID x = y ) )
25	16, 24	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
26	25	ralrimivva 2569	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
27		f1ocnv 5486	. . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -1-1-onto-> A )
28		f1ofo 5480	. . . . . . 7 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A -> `' g : NN0 -onto-> A )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -onto-> A )
30		peano2nn0 9230	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
32		elfznn0 10128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j e. NN0 )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. NN0 )
34	33	nn0red 9244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. RR )
35		elfzle2 10042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j <_ n )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j <_ n )
37		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
38		nn0leltp1 9330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j < ( n + 1 ) )
41	34, 40	gtned 8084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) =/= j )
42	41	neneqd 2378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( n + 1 ) = j )
43		dff1o6 5790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A <-> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
44	27, 43	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
45	44	simp3d 1012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
47	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
48		fveqeq2 5536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) ) )
49		eqeq1 2194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x = y <-> ( n + 1 ) = y ) )
50	48, 49	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) ) )
51		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( `' g ` y ) = ( `' g ` j ) )
52	51	eqeq2d 2199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) ) )
53		eqeq2 2197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( n + 1 ) = y <-> ( n + 1 ) = j ) )
54	52, 53	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> ( ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
55	50, 54	rspc2v 2866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
56	47, 33, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
57	46, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) )
58	42, 57	mtod 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) )
59	58	neqned 2364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
60	59	ralrimiva 2560	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
61		fveq2 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( `' g ` k ) = ( `' g ` ( n + 1 ) ) )
62	61	neeq1d 2375	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
63	62	ralbidv 2487	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
64	63	rspcev 2853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
65	31, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
66	65	ralrimiva 2560	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
67		cnvexg 5178	. . . . . . . 8 |- ( g e. _V -> `' g e. _V )
68	67	elv 2753	. . . . . . 7 |- `' g e. _V
69		foeq1 5446	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( f : NN0 -onto-> A <-> `' g : NN0 -onto-> A ) )
70		fveq1 5526	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` k ) = ( `' g ` k ) )
71		fveq1 5526	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` j ) = ( `' g ` j ) )
72	70, 71	neeq12d 2377	. . . . . . . . . 10 |- ( f = `' g -> ( ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
73	72	rexralbidv 2513	. . . . . . . . 9 |- ( f = `' g -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2487	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
75	69, 74	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( f = `' g -> ( ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) <-> ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) ) )
76	68, 75	spcev 2844	. . . . . 6 |- ( ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
77	29, 66, 76	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
78	26, 77	jca 306	. . . 4 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
79	78	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~~ NN0 /\ g : A -1-1-onto-> NN0 ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
80	6, 79	exlimddv 1908	. 2 |- ( A ~~ NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
81	4, 80	syl 14	1 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   =/= wne 2357   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   class class class wbr 4015   `'ccnv 4637   ran crn 4639   Fn wfn 5223   -->wf 5224   -onto->wfo 5226   -1-1-onto->wf1o 5227   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   ~~ cen 6752   0cc0 7825   1c1 7826   + caddc 7828   < clt 8006   <_ cle 8007   NNcn 8933   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   ...cfz 10022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-er 6549  df-en 6755  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023

This theorem is referenced by:  ennnfone  12440