Theorem ennnfonelemim 11937

Description: Lemma for ennnfone 11938. The trivial direction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemim	|- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, j, n   x, A, y, n   f, k, j, n   y, j

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ennnfonelemim

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ennn 10206	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
2	1	ensymi 6676	. . 3 |- NN ~~ NN0
3		entr 6678	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ NN0 ) -> A ~~ NN0 )
4	2, 3	mpan2 421	. 2 |- ( A ~~ NN -> A ~~ NN0 )
5		bren 6641	. . . 4 |- ( A ~~ NN0 <-> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
6	5	biimpi 119	. . 3 |- ( A ~~ NN0 -> E. g g : A -1-1-onto-> NN0 )
7		f1of 5367	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> g : A --> NN0 )
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> g : A --> NN0 )
9		simprl 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
10	8, 9	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9171	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
12		simprr 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
13	8, 12	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9171	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( g ` y ) e. ZZ )
15		zdceq 9126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g ` x ) e. ZZ /\ ( g ` y ) e. ZZ ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) )
17		dff1o6 5677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 <-> ( g Fn A /\ ran g = NN0 /\ A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) ) )
18	17	simp3bi 998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
19	18	r19.21bi 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) -> A. y e. A ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
20	19	r19.21bi 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
21	20	anasss 396	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) -> x = y ) )
22		fveq2 5421	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
23	21, 22	impbid1 141	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> x = y ) )
24	23	dcbid 823	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> (DECID ( g ` x ) = ( g ` y ) <-> DECID x = y ) )
25	16, 24	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
26	25	ralrimivva 2514	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
27		f1ocnv 5380	. . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -1-1-onto-> A )
28		f1ofo 5374	. . . . . . 7 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A -> `' g : NN0 -onto-> A )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> `' g : NN0 -onto-> A )
30		peano2nn0 9017	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
32		elfznn0 9894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j e. NN0 )
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. NN0 )
34	33	nn0red 9031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. RR )
35		elfzle2 9808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... n ) -> j <_ n )
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j <_ n )
37		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
38		nn0leltp1 9117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( j <_ n <-> j < ( n + 1 ) ) )
40	36, 39	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j < ( n + 1 ) )
41	34, 40	gtned 7876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) =/= j )
42	41	neneqd 2329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( n + 1 ) = j )
43		dff1o6 5677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' g : NN0 -1-1-onto-> A <-> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
44	27, 43	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( `' g Fn NN0 /\ ran `' g = A /\ A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) ) )
45	44	simp3d 995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
46	45	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) )
47	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
48		fveqeq2 5430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) ) )
49		eqeq1 2146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x = y <-> ( n + 1 ) = y ) )
50	48, 49	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) ) )
51		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( `' g ` y ) = ( `' g ` j ) )
52	51	eqeq2d 2151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) ) )
53		eqeq2 2149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> ( ( n + 1 ) = y <-> ( n + 1 ) = j ) )
54	52, 53	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> ( ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` y ) -> ( n + 1 ) = y ) <-> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
55	50, 54	rspc2v 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
56	47, 33, 55	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 ( ( `' g ` x ) = ( `' g ` y ) -> x = y ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) ) )
57	46, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) -> ( n + 1 ) = j ) )
58	42, 57	mtod 652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> -. ( `' g ` ( n + 1 ) ) = ( `' g ` j ) )
59	58	neqned 2315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
60	59	ralrimiva 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) )
61		fveq2 5421	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( `' g ` k ) = ( `' g ` ( n + 1 ) ) )
62	61	neeq1d 2326	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
63	62	ralbidv 2437	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) )
64	63	rspcev 2789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` ( n + 1 ) ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
65	31, 60, 64	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> NN0 /\ n e. NN0 ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
66	65	ralrimiva 2505	. . . . . 6 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) )
67		cnvexg 5076	. . . . . . . 8 |- ( g e. _V -> `' g e. _V )
68	67	elv 2690	. . . . . . 7 |- `' g e. _V
69		foeq1 5341	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( f : NN0 -onto-> A <-> `' g : NN0 -onto-> A ) )
70		fveq1 5420	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` k ) = ( `' g ` k ) )
71		fveq1 5420	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = `' g -> ( f ` j ) = ( `' g ` j ) )
72	70, 71	neeq12d 2328	. . . . . . . . . 10 |- ( f = `' g -> ( ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
73	72	rexralbidv 2461	. . . . . . . . 9 |- ( f = `' g -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
74	73	ralbidv 2437	. . . . . . . 8 |- ( f = `' g -> ( A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) <-> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) )
75	69, 74	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( f = `' g -> ( ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) <-> ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) ) )
76	68, 75	spcev 2780	. . . . . 6 |- ( ( `' g : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( `' g ` k ) =/= ( `' g ` j ) ) -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
77	29, 66, 76	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) )
78	26, 77	jca 304	. . . 4 |- ( g : A -1-1-onto-> NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
79	78	adantl 275	. . 3 |- ( ( A ~~ NN0 /\ g : A -1-1-onto-> NN0 ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
80	6, 79	exlimddv 1870	. 2 |- ( A ~~ NN0 -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )
81	4, 80	syl 14	1 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : NN0 -onto-> A /\ A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( f ` k ) =/= ( f ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   ran crn 4540   Fn wfn 5118   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ~~ cen 6632   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-er 6429  df-en 6635  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  ennnfone  11938