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Theorem seq3f1olemqsumkj 10454
Description: Lemma for seq3f1o 10460. 
Q gives the same sum as 
J in the range  ( K ... ( `' J `  K ) ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
iseqf1olemnk  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
iseqf1olemqres.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqsumk.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumkj  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
Distinct variable groups:    u, J    u, K, x    u, M, x   
u, N    x, J    x, Q    ph, x    x,  .+ , y, z    f, G, x   
f, J, y, z   
y, K, z    f, M    f, N, x    x, P, y, z    Q, f, y, z    x, S, y, z    ph, u    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( u, f)    .+ ( u, f)    Q( u)    S( u, f)    F( x, y, z, u, f)    G( y, z, u)    K( f)    M( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumkj
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemstep.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
2 elfzelz 9981 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
4 iseqf1olemstep.j . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
5 f1ocnv 5455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
64, 5syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
7 f1of 5442 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
98, 1ffvelrnd 5632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
10 elfzelz 9981 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
12 peano2zm 9250 . . . . . . 7  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  ->  (
( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ )
14 iseqf1o.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
15 iseqf1olemstep.const . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
16 iseqf1olemnk . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
1714, 1, 4, 15, 16iseqf1olemklt 10441 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  <  ( `' J `  K ) )
18 zltlem1 9269 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
K  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
193, 11, 18syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
K  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
2017, 19mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )
21 eluz2 9493 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
223, 13, 20, 21syl3anbrc 1176 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
23 1zzd 9239 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
241adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
254adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
26 elfzel1 9980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
271, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2827adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
29 elfzel2 9979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
301, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3130adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
32 elfzelz 9981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  ->  v  e.  ZZ )
3332adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
3433peano2zd 9337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  ZZ )
3528, 31, 343jca 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( v  +  1 )  e.  ZZ ) )
3628zred 9334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
3733zred 9334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  RR )
3834zred 9334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  RR )
393zred 9334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
41 elfzle1 9983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
421, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
4342adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  K )
44 elfzle1 9983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  ->  K  <_  v )
4544adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  v )
4636, 40, 37, 43, 45letrd 8043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  v )
4737lep1d 8847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  <_  ( v  +  1 ) )
4836, 37, 38, 46, 47letrd 8043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  ( v  +  1 ) )
4911zred 9334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
5049adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
5131zred 9334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
52 elfzle2 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  ->  v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )
5352adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )
54 1red 7935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
55 leaddsub 8357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( `' J `  K )  e.  RR )  -> 
( ( v  +  1 )  <_  ( `' J `  K )  <-> 
v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
5637, 54, 50, 55syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( (
v  +  1 )  <_  ( `' J `  K )  <->  v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
5753, 56mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  <_ 
( `' J `  K ) )
58 elfzle2 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  <_  N )
599, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  N
)
6059adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <_  N )
6138, 50, 51, 57, 60letrd 8043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  <_  N )
6248, 61jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  <_  ( v  +  1 )  /\  ( v  +  1 )  <_  N ) )
63 elfz2 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( v  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( v  +  1 )  /\  (
v  +  1 )  <_  N ) ) )
6435, 62, 63sylanbrc 415 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
65 iseqf1olemqres.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
6624, 25, 64, 65iseqf1olemqval 10443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( v  +  1 ) )  =  if ( ( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) ) ,  ( J `  (
v  +  1 ) ) ) )
6724, 2syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
6811adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
6967, 68, 343jca 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  (
v  +  1 )  e.  ZZ ) )
7040, 37, 38, 45, 47letrd 8043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( v  +  1 ) )
7170, 57jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  ( v  +  1 )  /\  ( v  +  1 )  <_ 
( `' J `  K ) ) )
72 elfz2 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  (
v  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  ( v  +  1 )  /\  ( v  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
) ) )
7369, 71, 72sylanbrc 415 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7473iftrued 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  if (
( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K , 
( J `  (
( v  +  1 )  -  1 ) ) ) ,  ( J `  ( v  +  1 ) ) )  =  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) ) )
7566, 74eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( v  +  1 ) )  =  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) ) )
76 zleltp1 9267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  v  <->  K  <  ( v  +  1 ) ) )
7767, 33, 76syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  v  <->  K  <  ( v  +  1 ) ) )
7845, 77mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  <  ( v  +  1 ) )
7940, 78gtned 8032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  =/= 
K )
8079neneqd 2361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  -.  (
v  +  1 )  =  K )
8180iffalsed 3536 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  if (
( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( J `  (
( v  +  1 )  -  1 ) ) )
8233zcnd 9335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  CC )
83 pncan1 8296 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  CC  ->  (
( v  +  1 )  -  1 )  =  v )
8482, 83syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( (
v  +  1 )  -  1 )  =  v )
8584fveq2d 5500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) )  =  ( J `  v ) )
8675, 81, 853eqtrd 2207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( v  +  1 ) )  =  ( J `  v ) )
8786fveq2d 5500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( Q `  (
v  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
881, 4, 65iseqf1olemqf1o 10449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
8988adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  Q :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
90 iseqf1o.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
9190adantlr 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( K ... (
( `' J `  K )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
92 iseqf1olemqsumk.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
9324, 89, 64, 91, 92iseqf1olemfvp 10453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  ( v  +  1 ) )  =  ( G `  ( Q `
 ( v  +  1 ) ) ) )
9428, 31, 333jca 1172 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )
9511, 23zsubcld 9339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ )
9695zred 9334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  RR )
9796adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  RR )
9850lem1d 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  <_ 
( `' J `  K ) )
9997, 50, 51, 98, 60letrd 8043 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  <_  N )
10037, 97, 51, 53, 99letrd 8043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  <_  N )
10146, 100jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) )
102 elfz2 9972 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
10394, 101, 102sylanbrc 415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  ( M ... N ) )
104103, 25, 103, 91, 92iseqf1olemfvp 10453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
10587, 93, 1043eqtr4rd 2214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  (
[_ Q  /  f ]_ P `  ( v  +  1 ) ) )
106 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
107 elfzuz 9977 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1081, 107syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
109108adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
110 uztrn 9503 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
111106, 109, 110syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1121, 4, 65, 90, 92iseqf1olemjpcl 10451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
113111, 112syldan 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
114 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
1153adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
116115peano2zd 9337 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
117115zred 9334 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
118117lep1d 8847 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  K  <_  ( K  +  1 ) )
119 eluz2 9493 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( K  +  1 ) ) )
120115, 116, 118, 119syl3anbrc 1176 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
121 uztrn 9503 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
122114, 120, 121syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
1231, 4, 65, 90, 92iseqf1olemqpcl 10452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
124111, 123syldan 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
125122, 124syldan 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
126 iseqf1o.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
12722, 23, 105, 113, 125, 126seq3shft2 10429 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  =  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( (
( `' J `  K )  -  1 )  +  1 ) ) )
12811zcnd 9335 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  CC )
129 npcan1 8297 . . . . . 6  |-  ( ( `' J `  K )  e.  CC  ->  (
( ( `' J `  K )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' J `  K ) )
130128, 129syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' J `  K )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' J `  K ) )
131130fveq2d 5500 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( (
( `' J `  K )  -  1 )  +  1 ) )  =  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
132127, 131eqtrd 2203 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  =  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
) )
133 f1ocnvfv2 5757 . . . . . 6  |-  ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( J `  ( `' J `  K ) )  =  K )
1344, 1, 133syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  ( `' J `  K ) )  =  K )
135134fveq2d 5500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( J `  ( `' J `  K )
) )  =  ( G `  K ) )
1361, 4, 9, 90, 92iseqf1olemfvp 10453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ J  / 
f ]_ P `  ( `' J `  K ) )  =  ( G `
 ( J `  ( `' J `  K ) ) ) )
1371, 88, 1, 90, 92iseqf1olemfvp 10453 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ Q  / 
f ]_ P `  K
)  =  ( G `
 ( Q `  K ) ) )
1381, 4, 1, 65iseqf1olemqval 10443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K ) ) )
13914, 1, 4, 15iseqf1olemkle 10440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
140 eluz2 9493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
1413, 11, 139, 140syl3anbrc 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
142 eluzfz1 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
143141, 142syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
144143iftrued 3533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) )
145 eqidd 2171 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  =  K )
146145iftrued 3533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) )  =  K )
147138, 144, 1463eqtrd 2207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  K )
148147fveq2d 5500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( Q `  K )
)  =  ( G `
 K ) )
149137, 148eqtrd 2203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ Q  / 
f ]_ P `  K
)  =  ( G `
 K ) )
150135, 136, 1493eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [_ J  / 
f ]_ P `  ( `' J `  K ) )  =  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) )
151132, 150oveq12d 5871 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq K
(  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) 
.+  ( [_ J  /  f ]_ P `  ( `' J `  K ) ) )  =  ( (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) ) )
1523peano2zd 9337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
153 zltp1le 9266 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
) )
1543, 11, 153syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
) )
15517, 154mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
)
156 eluz2 9493 . . . 4  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  <->  ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  ( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K ) ) )
157152, 11, 155, 156syl3anbrc 1176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) ) )
1583, 157, 113, 126seq3m1 10424 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  (
( `' J `  K )  -  1 ) )  .+  ( [_ J  /  f ]_ P `  ( `' J `  K ) ) ) )
159 iseqf1o.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
160126, 159, 157, 3, 124seq3-1p 10436 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  ( (
[_ Q  /  f ]_ P `  K ) 
.+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
) ) )
161 iseqf1o.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
162 fveq2 5496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  K )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( Q `  K ) ) )
163162eleq1d 2239 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( Q `  K )  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  ( Q `  K
) )  e.  S
) )
16490ralrimiva 2543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
165147, 108eqeltrd 2247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
166163, 164, 165rspcdva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( Q `  K )
)  e.  S )
167137, 166eqeltrd 2247 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ Q  / 
f ]_ P `  K
)  e.  S )
168 eqid 2170 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )
169168, 152, 125, 126seqf 10417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) : (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) ) --> S )
170169, 157ffvelrnd 5632 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  e.  S )
171161, 167, 170caovcomd 6009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( [_ Q  /  f ]_ P `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )  =  ( (  seq ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  .+  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) ) )
172160, 171eqtrd 2203 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  ( (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) ) )
173151, 158, 1723eqtr4d 2213 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448   [_csb 3049   ifcif 3526   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   1c1 7775    + caddc 7777    < clt 7954    <_ cle 7955    - cmin 8090   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098    seqcseq 10401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumk  10455
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