Theorem seq3f1olemqsumkj 10454

Description: Lemma for seq3f1o 10460. Q gives the same sum as J in the range ( K ... ( `' J ` K ) ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
iseqf1olemnk	|- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
iseqf1olemqres.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqsumk.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemqsumkj	|- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, K, x   u, M, x   u, N   x, J   x, Q   ph, x   x, .+ , y, z   f, G, x   f, J, y, z   y, K, z   f, M   f, N, x   x, P, y, z   Q, f, y, z   x, S, y, z   ph, u   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( u, f)   .+ ( u, f)   Q( u)   S( u, f)   F( x, y, z, u, f)   G( y, z, u)   K( f)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumkj

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
2		elfzelz 9981	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ZZ )
4		iseqf1olemstep.j	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
5		f1ocnv 5455	. . . . . . . . . . 11 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
7		f1of 5442	. . . . . . . . . 10 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
9	8, 1	ffvelrnd 5632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
10		elfzelz 9981	. . . . . . . 8 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
12		peano2zm 9250	. . . . . . 7 |- ( ( `' J ` K ) e. ZZ -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ )
14		iseqf1o.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
15		iseqf1olemstep.const	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
16		iseqf1olemnk	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
17	14, 1, 4, 15, 16	iseqf1olemklt 10441	. . . . . . 7 |- ( ph -> K < ( `' J ` K ) )
18		zltlem1 9269	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( K < ( `' J ` K ) <-> K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
19	3, 11, 18	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K < ( `' J ` K ) <-> K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
20	17, 19	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) )
21		eluz2 9493	. . . . . 6 |- ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ /\ K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
22	3, 13, 20, 21	syl3anbrc 1176	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
23		1zzd 9239	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
24	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K e. ( M ... N ) )
25	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
26		elfzel1 9980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
27	1, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
29		elfzel2 9979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
30	1, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
31	30	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
32		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) -> v e. ZZ )
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. ZZ )
34	33	peano2zd 9337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. ZZ )
35	28, 31, 34	3jca 1172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) )
36	28	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M e. RR )
37	33	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. RR )
38	34	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. RR )
39	3	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. RR )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K e. RR )
41		elfzle1 9983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
42	1, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M <_ K )
43	42	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M <_ K )
44		elfzle1 9983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) -> K <_ v )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K <_ v )
46	36, 40, 37, 43, 45	letrd 8043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M <_ v )
47	37	lep1d 8847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v <_ ( v + 1 ) )
48	36, 37, 38, 46, 47	letrd 8043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M <_ ( v + 1 ) )
49	11	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. RR )
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( `' J ` K ) e. RR )
51	31	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> N e. RR )
52		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) -> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) )
53	52	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) )
54		1red 7935	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
55		leaddsub 8357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. RR /\ 1 e. RR /\ ( `' J ` K ) e. RR ) -> ( ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) <-> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
56	37, 54, 50, 55	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) <-> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
57	53, 56	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) )
58		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) <_ N )
59	9, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) <_ N )
60	59	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( `' J ` K ) <_ N )
61	38, 50, 51, 57, 60	letrd 8043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) <_ N )
62	48, 61	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ N ) )
63		elfz2 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ N ) ) )
64	35, 62, 63	sylanbrc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. ( M ... N ) )
65		iseqf1olemqres.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
66	24, 25, 64, 65	iseqf1olemqval 10443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( v + 1 ) ) = if ( ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) , ( J ` ( v + 1 ) ) ) )
67	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
68	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
69	67, 68, 34	3jca 1172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) )
70	40, 37, 38, 45, 47	letrd 8043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K <_ ( v + 1 ) )
71	70, 57	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( K <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
72		elfz2 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) /\ ( K <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) ) )
73	69, 71, 72	sylanbrc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
74	73	iftrued 3533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> if ( ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) , ( J ` ( v + 1 ) ) ) = if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) )
75	66, 74	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( v + 1 ) ) = if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) )
76		zleltp1 9267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( K <_ v <-> K < ( v + 1 ) ) )
77	67, 33, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( K <_ v <-> K < ( v + 1 ) ) )
78	45, 77	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K < ( v + 1 ) )
79	40, 78	gtned 8032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) =/= K )
80	79	neneqd 2361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> -. ( v + 1 ) = K )
81	80	iffalsed 3536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) = ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) )
82	33	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. CC )
83		pncan1 8296	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. CC -> ( ( v + 1 ) - 1 ) = v )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( v + 1 ) - 1 ) = v )
85	84	fveq2d 5500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) = ( J ` v ) )
86	75, 81, 85	3eqtrd 2207	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( v + 1 ) ) = ( J ` v ) )
87	86	fveq2d 5500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( G ` ( Q ` ( v + 1 ) ) ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
88	1, 4, 65	iseqf1olemqf1o 10449	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
89	88	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
90		iseqf1o.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
91	90	adantlr 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
92		iseqf1olemqsumk.p	. . . . . . 7 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
93	24, 89, 64, 91, 92	iseqf1olemfvp 10453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` ( v + 1 ) ) = ( G ` ( Q ` ( v + 1 ) ) ) )
94	28, 31, 33	3jca 1172	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) )
95	11, 23	zsubcld 9339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ )
96	95	zred 9334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. RR )
97	96	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. RR )
98	50	lem1d 8849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) <_ ( `' J ` K ) )
99	97, 50, 51, 98, 60	letrd 8043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) <_ N )
100	37, 97, 51, 53, 99	letrd 8043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v <_ N )
101	46, 100	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M <_ v /\ v <_ N ) )
102		elfz2 9972	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( M <_ v /\ v <_ N ) ) )
103	94, 101, 102	sylanbrc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. ( M ... N ) )
104	103, 25, 103, 91, 92	iseqf1olemfvp 10453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
105	87, 93, 104	3eqtr4rd 2214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( [_ Q / f ]_ P ` ( v + 1 ) ) )
106		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
107		elfzuz 9977	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
108	1, 107	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
109	108	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
110		uztrn 9503	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
111	106, 109, 110	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
112	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemjpcl 10451	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
113	111, 112	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
114		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
115	3	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
116	115	peano2zd 9337	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
117	115	zred 9334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> K e. RR )
118	117	lep1d 8847	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> K <_ ( K + 1 ) )
119		eluz2 9493	. . . . . . . 8 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( K + 1 ) e. ZZ /\ K <_ ( K + 1 ) ) )
120	115, 116, 118, 119	syl3anbrc 1176	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
121		uztrn 9503	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
122	114, 120, 121	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
123	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemqpcl 10452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
124	111, 123	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
125	122, 124	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
126		iseqf1o.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
127	22, 23, 105, 113, 125, 126	seq3shft2 10429	. . . 4 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) ) )
128	11	zcnd 9335	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. CC )
129		npcan1 8297	. . . . . 6 |- ( ( `' J ` K ) e. CC -> ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) = ( `' J ` K ) )
130	128, 129	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) = ( `' J ` K ) )
131	130	fveq2d 5500	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
132	127, 131	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
133		f1ocnvfv2 5757	. . . . . 6 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( J ` ( `' J ` K ) ) = K )
134	4, 1, 133	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ` ( `' J ` K ) ) = K )
135	134	fveq2d 5500	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( J ` ( `' J ` K ) ) ) = ( G ` K ) )
136	1, 4, 9, 90, 92	iseqf1olemfvp 10453	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) = ( G ` ( J ` ( `' J ` K ) ) ) )
137	1, 88, 1, 90, 92	iseqf1olemfvp 10453	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ Q / f ]_ P ` K ) = ( G ` ( Q ` K ) ) )
138	1, 4, 1, 65	iseqf1olemqval 10443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` K ) = if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) )
139	14, 1, 4, 15	iseqf1olemkle 10440	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
140		eluz2 9493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
141	3, 11, 139, 140	syl3anbrc 1176	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
142		eluzfz1 9987	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
144	143	iftrued 3533	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) )
145		eqidd 2171	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K = K )
146	145	iftrued 3533	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) = K )
147	138, 144, 146	3eqtrd 2207	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ` K ) = K )
148	147	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` ( Q ` K ) ) = ( G ` K ) )
149	137, 148	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ Q / f ]_ P ` K ) = ( G ` K ) )
150	135, 136, 149	3eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ph -> ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) = ( [_ Q / f ]_ P ` K ) )
151	132, 150	oveq12d 5871	. 2 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) .+ ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( [_ Q / f ]_ P ` K ) ) )
152	3	peano2zd 9337	. . . 4 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. ZZ )
153		zltp1le 9266	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( K < ( `' J ` K ) <-> ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
154	3, 11, 153	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( K < ( `' J ` K ) <-> ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
155	17, 154	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) )
156		eluz2 9493	. . . 4 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
157	152, 11, 155, 156	syl3anbrc 1176	. . 3 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
158	3, 157, 113, 126	seq3m1 10424	. 2 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) .+ ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) ) )
159		iseqf1o.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
160	126, 159, 157, 3, 124	seq3-1p 10436	. . 3 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( ( [_ Q / f ]_ P ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) ) )
161		iseqf1o.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
162		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` K ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( Q ` K ) ) )
163	162	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = ( Q ` K ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( Q ` K ) ) e. S ) )
164	90	ralrimiva 2543	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
165	147, 108	eqeltrd 2247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
166	163, 164, 165	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` ( Q ` K ) ) e. S )
167	137, 166	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ Q / f ]_ P ` K ) e. S )
168		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( K + 1 ) )
169	168, 152, 125, 126	seqf 10417	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) : ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) --> S )
170	169, 157	ffvelrnd 5632	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) e. S )
171	161, 167, 170	caovcomd 6009	. . 3 |- ( ph -> ( ( [_ Q / f ]_ P ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( [_ Q / f ]_ P ` K ) ) )
172	160, 171	eqtrd 2203	. 2 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( [_ Q / f ]_ P ` K ) ) )
173	151, 158, 172	3eqtr4d 2213	1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   [_csb 3049   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumk  10455