Theorem seq3f1olemqsumkj 10603

Description: Lemma for seq3f1o 10609. Q gives the same sum as J in the range ( K ... ( `' J ` K ) ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
iseqf1olemnk	|- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
iseqf1olemqres.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqsumk.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemqsumkj	|- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, K, x   u, M, x   u, N   x, J   x, Q   ph, x   x, .+ , y, z   f, G, x   f, J, y, z   y, K, z   f, M   f, N, x   x, P, y, z   Q, f, y, z   x, S, y, z   ph, u   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( u, f)   .+ ( u, f)   Q( u)   S( u, f)   F( x, y, z, u, f)   G( y, z, u)   K( f)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumkj

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
2		elfzelz 10100	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ZZ )
4		iseqf1olemstep.j	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
5		f1ocnv 5517	. . . . . . . . . . 11 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
7		f1of 5504	. . . . . . . . . 10 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
9	8, 1	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
10		elfzelz 10100	. . . . . . . 8 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
12		peano2zm 9364	. . . . . . 7 |- ( ( `' J ` K ) e. ZZ -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ )
14		iseqf1o.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
15		iseqf1olemstep.const	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
16		iseqf1olemnk	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
17	14, 1, 4, 15, 16	iseqf1olemklt 10590	. . . . . . 7 |- ( ph -> K < ( `' J ` K ) )
18		zltlem1 9383	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( K < ( `' J ` K ) <-> K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
19	3, 11, 18	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K < ( `' J ` K ) <-> K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
20	17, 19	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) )
21		eluz2 9607	. . . . . 6 |- ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ /\ K <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
22	3, 13, 20, 21	syl3anbrc 1183	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
23		1zzd 9353	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
24	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K e. ( M ... N ) )
25	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
26		elfzel1 10099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
27	1, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
29		elfzel2 10098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
30	1, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
32		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) -> v e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. ZZ )
34	33	peano2zd 9451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. ZZ )
35	28, 31, 34	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) )
36	28	zred 9448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M e. RR )
37	33	zred 9448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. RR )
38	34	zred 9448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. RR )
39	3	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K e. RR )
41		elfzle1 10102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
42	1, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M <_ K )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M <_ K )
44		elfzle1 10102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) -> K <_ v )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K <_ v )
46	36, 40, 37, 43, 45	letrd 8150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M <_ v )
47	37	lep1d 8958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v <_ ( v + 1 ) )
48	36, 37, 38, 46, 47	letrd 8150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> M <_ ( v + 1 ) )
49	11	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. RR )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( `' J ` K ) e. RR )
51	31	zred 9448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> N e. RR )
52		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) -> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) )
54		1red 8041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
55		leaddsub 8465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. RR /\ 1 e. RR /\ ( `' J ` K ) e. RR ) -> ( ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) <-> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
56	37, 54, 50, 55	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) <-> v <_ ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) )
57	53, 56	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) )
58		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) <_ N )
59	9, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) <_ N )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( `' J ` K ) <_ N )
61	38, 50, 51, 57, 60	letrd 8150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) <_ N )
62	48, 61	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ N ) )
63		elfz2 10090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ N ) ) )
64	35, 62, 63	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. ( M ... N ) )
65		iseqf1olemqres.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
66	24, 25, 64, 65	iseqf1olemqval 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( v + 1 ) ) = if ( ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) , ( J ` ( v + 1 ) ) ) )
67	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
68	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
69	67, 68, 34	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) )
70	40, 37, 38, 45, 47	letrd 8150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K <_ ( v + 1 ) )
71	70, 57	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( K <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
72		elfz2 10090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ ( v + 1 ) e. ZZ ) /\ ( K <_ ( v + 1 ) /\ ( v + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) ) )
73	69, 71, 72	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
74	73	iftrued 3568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> if ( ( v + 1 ) e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) , ( J ` ( v + 1 ) ) ) = if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) )
75	66, 74	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( v + 1 ) ) = if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) )
76		zleltp1 9381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( K <_ v <-> K < ( v + 1 ) ) )
77	67, 33, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( K <_ v <-> K < ( v + 1 ) ) )
78	45, 77	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> K < ( v + 1 ) )
79	40, 78	gtned 8139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( v + 1 ) =/= K )
80	79	neneqd 2388	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> -. ( v + 1 ) = K )
81	80	iffalsed 3571	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> if ( ( v + 1 ) = K , K , ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) ) = ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) )
82	33	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. CC )
83		pncan1 8403	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. CC -> ( ( v + 1 ) - 1 ) = v )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( v + 1 ) - 1 ) = v )
85	84	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( J ` ( ( v + 1 ) - 1 ) ) = ( J ` v ) )
86	75, 81, 85	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( v + 1 ) ) = ( J ` v ) )
87	86	fveq2d 5562	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( G ` ( Q ` ( v + 1 ) ) ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
88	1, 4, 65	iseqf1olemqf1o 10598	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
90		iseqf1o.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
91	90	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
92		iseqf1olemqsumk.p	. . . . . . 7 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
93	24, 89, 64, 91, 92	iseqf1olemfvp 10602	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` ( v + 1 ) ) = ( G ` ( Q ` ( v + 1 ) ) ) )
94	28, 31, 33	3jca 1179	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) )
95	11, 23	zsubcld 9453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. ZZ )
96	95	zred 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. RR )
97	96	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) e. RR )
98	50	lem1d 8960	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) <_ ( `' J ` K ) )
99	97, 50, 51, 98, 60	letrd 8150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) - 1 ) <_ N )
100	37, 97, 51, 53, 99	letrd 8150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v <_ N )
101	46, 100	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( M <_ v /\ v <_ N ) )
102		elfz2 10090	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( M <_ v /\ v <_ N ) ) )
103	94, 101, 102	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> v e. ( M ... N ) )
104	103, 25, 103, 91, 92	iseqf1olemfvp 10602	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
105	87, 93, 104	3eqtr4rd 2240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ v e. ( K ... ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( [_ Q / f ]_ P ` ( v + 1 ) ) )
106		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
107		elfzuz 10096	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
108	1, 107	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
109	108	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
110		uztrn 9618	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
111	106, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
112	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemjpcl 10600	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
113	111, 112	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
114		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
115	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
116	115	peano2zd 9451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
117	115	zred 9448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> K e. RR )
118	117	lep1d 8958	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> K <_ ( K + 1 ) )
119		eluz2 9607	. . . . . . . 8 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( K + 1 ) e. ZZ /\ K <_ ( K + 1 ) ) )
120	115, 116, 118, 119	syl3anbrc 1183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
121		uztrn 9618	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
122	114, 120, 121	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
123	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemqpcl 10601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
124	111, 123	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
125	122, 124	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
126		iseqf1o.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
127	22, 23, 105, 113, 125, 126	seq3shft2 10573	. . . 4 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) ) )
128	11	zcnd 9449	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. CC )
129		npcan1 8404	. . . . . 6 |- ( ( `' J ` K ) e. CC -> ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) = ( `' J ` K ) )
130	128, 129	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) = ( `' J ` K ) )
131	130	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( ( ( `' J ` K ) - 1 ) + 1 ) ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
132	127, 131	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
133		f1ocnvfv2 5825	. . . . . 6 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( J ` ( `' J ` K ) ) = K )
134	4, 1, 133	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ` ( `' J ` K ) ) = K )
135	134	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( J ` ( `' J ` K ) ) ) = ( G ` K ) )
136	1, 4, 9, 90, 92	iseqf1olemfvp 10602	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) = ( G ` ( J ` ( `' J ` K ) ) ) )
137	1, 88, 1, 90, 92	iseqf1olemfvp 10602	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ Q / f ]_ P ` K ) = ( G ` ( Q ` K ) ) )
138	1, 4, 1, 65	iseqf1olemqval 10592	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` K ) = if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) )
139	14, 1, 4, 15	iseqf1olemkle 10589	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
140		eluz2 9607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
141	3, 11, 139, 140	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
142		eluzfz1 10106	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
144	143	iftrued 3568	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) )
145		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K = K )
146	145	iftrued 3568	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) = K )
147	138, 144, 146	3eqtrd 2233	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ` K ) = K )
148	147	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` ( Q ` K ) ) = ( G ` K ) )
149	137, 148	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ Q / f ]_ P ` K ) = ( G ` K ) )
150	135, 136, 149	3eqtr4d 2239	. . 3 |- ( ph -> ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) = ( [_ Q / f ]_ P ` K ) )
151	132, 150	oveq12d 5940	. 2 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) .+ ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( [_ Q / f ]_ P ` K ) ) )
152	3	peano2zd 9451	. . . 4 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. ZZ )
153		zltp1le 9380	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( K < ( `' J ` K ) <-> ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
154	3, 11, 153	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( K < ( `' J ` K ) <-> ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
155	17, 154	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) )
156		eluz2 9607	. . . 4 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ ( K + 1 ) <_ ( `' J ` K ) ) )
157	152, 11, 155, 156	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
158	3, 157, 113, 126	seq3m1 10565	. 2 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( ( `' J ` K ) - 1 ) ) .+ ( [_ J / f ]_ P ` ( `' J ` K ) ) ) )
159		iseqf1o.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
160	126, 159, 157, 3, 124	seq3-1p 10582	. . 3 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( ( [_ Q / f ]_ P ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) ) )
161		iseqf1o.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
162		fveq2 5558	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` K ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( Q ` K ) ) )
163	162	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( x = ( Q ` K ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( Q ` K ) ) e. S ) )
164	90	ralrimiva 2570	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
165	147, 108	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
166	163, 164, 165	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` ( Q ` K ) ) e. S )
167	137, 166	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ Q / f ]_ P ` K ) e. S )
168		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( K + 1 ) )
169	168, 152, 125, 126	seqf 10556	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) : ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) --> S )
170	169, 157	ffvelcdmd 5698	. . . 4 |- ( ph -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) e. S )
171	161, 167, 170	caovcomd 6080	. . 3 |- ( ph -> ( ( [_ Q / f ]_ P ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( [_ Q / f ]_ P ` K ) ) )
172	160, 171	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( [_ Q / f ]_ P ` K ) ) )
173	151, 158, 172	3eqtr4d 2239	1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   [_csb 3084   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   `'ccnv 4662   -->wf 5254   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217   seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumk  10604