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Theorem seq3f1olemqsumkj 10211
Description: Lemma for seq3f1o 10217. 
Q gives the same sum as 
J in the range  ( K ... ( `' J `  K ) ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
iseqf1olemnk  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
iseqf1olemqres.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqsumk.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumkj  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
Distinct variable groups:    u, J    u, K, x    u, M, x   
u, N    x, J    x, Q    ph, x    x,  .+ , y, z    f, G, x   
f, J, y, z   
y, K, z    f, M    f, N, x    x, P, y, z    Q, f, y, z    x, S, y, z    ph, u    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( u, f)    .+ ( u, f)    Q( u)    S( u, f)    F( x, y, z, u, f)    G( y, z, u)    K( f)    M( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumkj
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemstep.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
2 elfzelz 9746 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
4 iseqf1olemstep.j . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
5 f1ocnv 5346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
64, 5syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
7 f1of 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
98, 1ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
10 elfzelz 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
12 peano2zm 9043 . . . . . . 7  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  ->  (
( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ )
14 iseqf1o.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
15 iseqf1olemstep.const . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
16 iseqf1olemnk . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
1714, 1, 4, 15, 16iseqf1olemklt 10198 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  <  ( `' J `  K ) )
18 zltlem1 9062 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
K  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
193, 11, 18syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
K  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
2017, 19mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )
21 eluz2 9281 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
223, 13, 20, 21syl3anbrc 1148 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
23 1zzd 9032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
241adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
254adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
26 elfzel1 9745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
271, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2827adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
29 elfzel2 9744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
301, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3130adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
32 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  ->  v  e.  ZZ )
3332adantl 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
3433peano2zd 9127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  ZZ )
3528, 31, 343jca 1144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( v  +  1 )  e.  ZZ ) )
3628zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
3733zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  RR )
3834zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  RR )
393zred 9124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
4039adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
41 elfzle1 9747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
421, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
4342adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  K )
44 elfzle1 9747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  ->  K  <_  v )
4544adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  v )
4636, 40, 37, 43, 45letrd 7850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  v )
4737lep1d 8646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  <_  ( v  +  1 ) )
4836, 37, 38, 46, 47letrd 7850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  ( v  +  1 ) )
4911zred 9124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
5049adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
5131zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
52 elfzle2 9748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  ->  v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )
5352adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )
54 1red 7745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
55 leaddsub 8164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( `' J `  K )  e.  RR )  -> 
( ( v  +  1 )  <_  ( `' J `  K )  <-> 
v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
5637, 54, 50, 55syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( (
v  +  1 )  <_  ( `' J `  K )  <->  v  <_  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )
5753, 56mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  <_ 
( `' J `  K ) )
58 elfzle2 9748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  <_  N )
599, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  N
)
6059adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <_  N )
6138, 50, 51, 57, 60letrd 7850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  <_  N )
6248, 61jca 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  <_  ( v  +  1 )  /\  ( v  +  1 )  <_  N ) )
63 elfz2 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( v  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( v  +  1 )  /\  (
v  +  1 )  <_  N ) ) )
6435, 62, 63sylanbrc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
65 iseqf1olemqres.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
6624, 25, 64, 65iseqf1olemqval 10200 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( v  +  1 ) )  =  if ( ( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) ) ,  ( J `  (
v  +  1 ) ) ) )
6724, 2syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
6811adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
6967, 68, 343jca 1144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  (
v  +  1 )  e.  ZZ ) )
7040, 37, 38, 45, 47letrd 7850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( v  +  1 ) )
7170, 57jca 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  ( v  +  1 )  /\  ( v  +  1 )  <_ 
( `' J `  K ) ) )
72 elfz2 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  (
v  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  ( v  +  1 )  /\  ( v  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
) ) )
7369, 71, 72sylanbrc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7473iftrued 3449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  if (
( v  +  1 )  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K , 
( J `  (
( v  +  1 )  -  1 ) ) ) ,  ( J `  ( v  +  1 ) ) )  =  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) ) )
7566, 74eqtrd 2148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( v  +  1 ) )  =  if ( ( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) ) )
76 zleltp1 9060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  v  <->  K  <  ( v  +  1 ) ) )
7767, 33, 76syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  v  <->  K  <  ( v  +  1 ) ) )
7845, 77mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  K  <  ( v  +  1 ) )
7940, 78gtned 7840 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( v  +  1 )  =/= 
K )
8079neneqd 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  -.  (
v  +  1 )  =  K )
8180iffalsed 3452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  if (
( v  +  1 )  =  K ,  K ,  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( J `  (
( v  +  1 )  -  1 ) ) )
8233zcnd 9125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  CC )
83 pncan1 8103 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  CC  ->  (
( v  +  1 )  -  1 )  =  v )
8482, 83syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( (
v  +  1 )  -  1 )  =  v )
8584fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( J `  ( ( v  +  1 )  -  1 ) )  =  ( J `  v ) )
8675, 81, 853eqtrd 2152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( v  +  1 ) )  =  ( J `  v ) )
8786fveq2d 5391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( Q `  (
v  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
881, 4, 65iseqf1olemqf1o 10206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
8988adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  Q :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
90 iseqf1o.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
9190adantlr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( K ... (
( `' J `  K )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
92 iseqf1olemqsumk.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
9324, 89, 64, 91, 92iseqf1olemfvp 10210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  ( v  +  1 ) )  =  ( G `  ( Q `
 ( v  +  1 ) ) ) )
9428, 31, 333jca 1144 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )
9511, 23zsubcld 9129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  ZZ )
9695zred 9124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  RR )
9796adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  e.  RR )
9850lem1d 8648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  <_ 
( `' J `  K ) )
9997, 50, 51, 98, 60letrd 7850 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( ( `' J `  K )  -  1 )  <_  N )
10037, 97, 51, 53, 99letrd 7850 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  <_  N )
10146, 100jca 302 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) )
102 elfz2 9737 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
10394, 101, 102sylanbrc 411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  v  e.  ( M ... N ) )
104103, 25, 103, 91, 92iseqf1olemfvp 10210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
10587, 93, 1043eqtr4rd 2159 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( K ... ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  (
[_ Q  /  f ]_ P `  ( v  +  1 ) ) )
106 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
107 elfzuz 9742 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1081, 107syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
109108adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
110 uztrn 9291 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
111106, 109, 110syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1121, 4, 65, 90, 92iseqf1olemjpcl 10208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
113111, 112syldan 278 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
114 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
1153adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
116115peano2zd 9127 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
117115zred 9124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
118117lep1d 8646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  K  <_  ( K  +  1 ) )
119 eluz2 9281 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( K  +  1 ) ) )
120115, 116, 118, 119syl3anbrc 1148 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
121 uztrn 9291 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
122114, 120, 121syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
1231, 4, 65, 90, 92iseqf1olemqpcl 10209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
124111, 123syldan 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
125122, 124syldan 278 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
126 iseqf1o.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
12722, 23, 105, 113, 125, 126seq3shft2 10186 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  =  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( (
( `' J `  K )  -  1 )  +  1 ) ) )
12811zcnd 9125 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  CC )
129 npcan1 8104 . . . . . 6  |-  ( ( `' J `  K )  e.  CC  ->  (
( ( `' J `  K )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' J `  K ) )
130128, 129syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' J `  K )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' J `  K ) )
131130fveq2d 5391 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( (
( `' J `  K )  -  1 )  +  1 ) )  =  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
132127, 131eqtrd 2148 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( ( `' J `  K )  -  1 ) )  =  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
) )
133 f1ocnvfv2 5645 . . . . . 6  |-  ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( J `  ( `' J `  K ) )  =  K )
1344, 1, 133syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  ( `' J `  K ) )  =  K )
135134fveq2d 5391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( J `  ( `' J `  K )
) )  =  ( G `  K ) )
1361, 4, 9, 90, 92iseqf1olemfvp 10210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ J  / 
f ]_ P `  ( `' J `  K ) )  =  ( G `
 ( J `  ( `' J `  K ) ) ) )
1371, 88, 1, 90, 92iseqf1olemfvp 10210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ Q  / 
f ]_ P `  K
)  =  ( G `
 ( Q `  K ) ) )
1381, 4, 1, 65iseqf1olemqval 10200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K ) ) )
13914, 1, 4, 15iseqf1olemkle 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
140 eluz2 9281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
1413, 11, 139, 140syl3anbrc 1148 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
142 eluzfz1 9751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
143141, 142syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
144143iftrued 3449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) )
145 eqidd 2116 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  =  K )
146145iftrued 3449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) )  =  K )
147138, 144, 1463eqtrd 2152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  K )
148147fveq2d 5391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( Q `  K )
)  =  ( G `
 K ) )
149137, 148eqtrd 2148 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ Q  / 
f ]_ P `  K
)  =  ( G `
 K ) )
150135, 136, 1493eqtr4d 2158 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [_ J  / 
f ]_ P `  ( `' J `  K ) )  =  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) )
151132, 150oveq12d 5758 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq K
(  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( ( `' J `  K )  -  1 ) ) 
.+  ( [_ J  /  f ]_ P `  ( `' J `  K ) ) )  =  ( (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) ) )
1523peano2zd 9127 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
153 zltp1le 9059 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
) )
1543, 11, 153syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  <  ( `' J `  K )  <-> 
( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
) )
15517, 154mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K )
)
156 eluz2 9281 . . . 4  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  <->  ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  ( K  +  1 )  <_  ( `' J `  K ) ) )
157152, 11, 155, 156syl3anbrc 1148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) ) )
1583, 157, 113, 126seq3m1 10181 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  (
( `' J `  K )  -  1 ) )  .+  ( [_ J  /  f ]_ P `  ( `' J `  K ) ) ) )
159 iseqf1o.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
160126, 159, 157, 3, 124seq3-1p 10193 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  ( (
[_ Q  /  f ]_ P `  K ) 
.+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
) ) )
161 iseqf1o.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
162 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  K )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( Q `  K ) ) )
163162eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( Q `  K )  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  ( Q `  K
) )  e.  S
) )
16490ralrimiva 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
165147, 108eqeltrd 2192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
166163, 164, 165rspcdva 2766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( Q `  K )
)  e.  S )
167137, 166eqeltrd 2192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ Q  / 
f ]_ P `  K
)  e.  S )
168 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )
169168, 152, 125, 126seqf 10174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) : (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) ) --> S )
170169, 157ffvelrnd 5522 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  e.  S )
171161, 167, 170caovcomd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( [_ Q  /  f ]_ P `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )  =  ( (  seq ( K  +  1 ) ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  .+  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) ) )
172160, 171eqtrd 2148 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  ( (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  ( [_ Q  /  f ]_ P `  K ) ) )
173151, 158, 1723eqtr4d 2158 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   [_csb 2973   ifcif 3442   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   `'ccnv 4506   -->wf 5087   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730  ..^cfzo 9859    seqcseq 10158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumk  10212
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