ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gtned GIF version

Theorem gtned 8003
Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapd 8527 which is the same but for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
gtned (𝜑𝐵𝐴)

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
3 ltne 7975 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3syl2anc 409 1 (𝜑𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2135  wne 2334   class class class wbr 3977  cr 7744   < clt 7925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-pre-ltirr 7857
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2724  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-br 3978  df-opab 4039  df-xp 4605  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-ltxr 7930
This theorem is referenced by:  ltned  8004  seq3f1olemqsumkj  10424  nn0opthlem2d  10624  zfz1isolemiso  10742  ennnfonelemim  12320  logbgcd1irr  13452  logbgcd1irraplemexp  13453
  Copyright terms: Public domain W3C validator