Theorem gzcn 13179

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	|- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 13178	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
2	1	simp1bi 1043	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380   CCcc 8183   ZZcz 9653   Recre 11626   Imcim 11627   ZZ[_i]cgz 13176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-gz 13177

This theorem is used by:  gznegcl  13182  gzcjcl  13183  gzaddcl  13184  gzmulcl  13185  gzsubcl  13187  gzabssqcl  13188  4sqlem4a  13198  4sqlem4  13199  mul4sqlem  13200  mul4sq  13201  4sqlem12  13209  4sqlem17  13214  gzsubrg  15027  2sqlem1  16455  2sqlem2  16456  mul2sq  16457  2sqlem3  16458