Theorem gzcn 12372

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	|- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 12371	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
2	1	simp1bi 1012	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ` cfv 5218   CCcc 7811   ZZcz 9255   Recre 10851   Imcim 10852   ZZ[_i]cgz 12369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-gz 12370

This theorem is referenced by:  gznegcl  12375  gzcjcl  12376  gzaddcl  12377  gzmulcl  12378  gzsubcl  12380  gzabssqcl  12381  4sqlem4a  12391  4sqlem4  12392  mul4sqlem  12393  mul4sq  12394  gzsubrg  13561  2sqlem1  14546  2sqlem2  14547  mul2sq  14548  2sqlem3  14549