Theorem gzcn 13151

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	|- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 13150	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
2	1	simp1bi 1043	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377   CCcc 8177   ZZcz 9644   Recre 11605   Imcim 11606   ZZ[_i]cgz 13148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-gz 13149

This theorem is used by:  gznegcl  13154  gzcjcl  13155  gzaddcl  13156  gzmulcl  13157  gzsubcl  13159  gzabssqcl  13160  4sqlem4a  13170  4sqlem4  13171  mul4sqlem  13172  mul4sq  13173  4sqlem12  13181  4sqlem17  13186  gzsubrg  14919  2sqlem1  16233  2sqlem2  16234  mul2sq  16235  2sqlem3  16236