Theorem gzcn 13074

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	|- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 13073	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
2	1	simp1bi 1039	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5354   CCcc 8127   ZZcz 9579   Recre 11529   Imcim 11530   ZZ[_i]cgz 13071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-gz 13072

This theorem is referenced by:  gznegcl  13077  gzcjcl  13078  gzaddcl  13079  gzmulcl  13080  gzsubcl  13082  gzabssqcl  13083  4sqlem4a  13093  4sqlem4  13094  mul4sqlem  13095  mul4sq  13096  4sqlem12  13104  4sqlem17  13109  gzsubrg  14747  2sqlem1  16004  2sqlem2  16005  mul2sq  16006  2sqlem3  16007