Theorem gzcn 12407

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	|- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 12406	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
2	1	simp1bi 1014	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   ` cfv 5235   CCcc 7840   ZZcz 9284   Recre 10884   Imcim 10885   ZZ[_i]cgz 12404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-gz 12405

This theorem is referenced by:  gznegcl  12410  gzcjcl  12411  gzaddcl  12412  gzmulcl  12413  gzsubcl  12415  gzabssqcl  12416  4sqlem4a  12426  4sqlem4  12427  mul4sqlem  12428  mul4sq  12429  4sqlem12  12437  4sqlem17  12442  gzsubrg  13902  2sqlem1  14939  2sqlem2  14940  mul2sq  14941  2sqlem3  14942