Theorem gzcn 12780

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	|- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 12779	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
2	1	simp1bi 1015	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   ` cfv 5285   CCcc 7953   ZZcz 9402   Recre 11236   Imcim 11237   ZZ[_i]cgz 12777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3174  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-iota 5246  df-fv 5293  df-gz 12778

This theorem is referenced by:  gznegcl  12783  gzcjcl  12784  gzaddcl  12785  gzmulcl  12786  gzsubcl  12788  gzabssqcl  12789  4sqlem4a  12799  4sqlem4  12800  mul4sqlem  12801  mul4sq  12802  4sqlem12  12810  4sqlem17  12815  gzsubrg  14429  2sqlem1  15676  2sqlem2  15677  mul2sq  15678  2sqlem3  15679