Theorem gzcn 13171

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 13170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  ℂcc 8177  ℤcz 9648  ℜcre 11619  ℑcim 11620  ℤ[i]cgz 13168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-gz 13169

This theorem is used by:  gznegcl  13174  gzcjcl  13175  gzaddcl  13176  gzmulcl  13177  gzsubcl  13179  gzabssqcl  13180  4sqlem4a  13190  4sqlem4  13191  mul4sqlem  13192  mul4sq  13193  4sqlem12  13201  4sqlem17  13206  gzsubrg  14968  2sqlem1  16331  2sqlem2  16332  mul2sq  16333  2sqlem3  16334