Theorem gzcn 12963

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 12962	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1038	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  ℂcc 8030  ℤcz 9479  ℜcre 11418  ℑcim 11419  ℤ[i]cgz 12960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-gz 12961

This theorem is referenced by:  gznegcl  12966  gzcjcl  12967  gzaddcl  12968  gzmulcl  12969  gzsubcl  12971  gzabssqcl  12972  4sqlem4a  12982  4sqlem4  12983  mul4sqlem  12984  mul4sq  12985  4sqlem12  12993  4sqlem17  12998  gzsubrg  14615  2sqlem1  15862  2sqlem2  15863  mul2sq  15864  2sqlem3  15865