Theorem gzcjcl 12899

Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcjcl	|- ( A e. ZZ[_i] -> ( * ` A ) e. ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12895	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2	1	cjcld 11451	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( * ` A ) e. CC )
3	1	recjd 11460	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )
4		elgz 12894	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
5	4	simp2bi 1037	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
6	3, 5	eqeltrd 2306	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
7	1	imcjd 11461	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
8	4	simp3bi 1038	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
9	8	znegcld 9571	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u ( Im ` A ) e. ZZ )
10	7, 9	eqeltrd 2306	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
11		elgz 12894	. 2 |- ( ( * ` A ) e. ZZ[_i] <-> ( ( * ` A ) e. CC /\ ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ ) )
12	2, 6, 10, 11	syl3anbrc 1205	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( * ` A ) e. ZZ[_i] )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5318   CCcc 7997   -ucneg 8318   ZZcz 9446   *ccj 11350   Recre 11351   Imcim 11352   ZZ[_i]cgz 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-z 9447  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-gz 12893

This theorem is referenced by:  mul4sqlem  12916