Theorem gzsubcl 12321

Description: The gaussian integers are closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzsubcl	|- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A - B ) e. ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12313	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2		gzcn 12313	. . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3		negsub 8156	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		gznegcl 12316	. . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> -u B e. ZZ[_i] )
6		gzaddcl 12318	. . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ -u B e. ZZ[_i] ) -> ( A + -u B ) e. ZZ[_i] )
7	5, 6	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + -u B ) e. ZZ[_i] )
8	4, 7	eqeltrrd 2248	1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A - B ) e. ZZ[_i] )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5851   CCcc 7761   + caddc 7766   - cmin 8079   -ucneg 8080   ZZ[_i]cgz 12310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-n0 9125  df-z 9202  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-gz 12311

This theorem is referenced by:  mul4sqlem  12334  mul4sq  12335