Theorem gznegcl 12314

Description: The gaussian integers are closed under negation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gznegcl	|- ( A e. ZZ[_i] -> -u A e. ZZ[_i] )

Proof of Theorem gznegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12311	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2	1	negcld 8204	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u A e. CC )
3	1	renegd 10905	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
4		elgz 12310	. . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
5	4	simp2bi 1008	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
6	5	znegcld 9323	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u ( Re ` A ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2247	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` -u A ) e. ZZ )
8	1	imnegd 10906	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )
9	4	simp3bi 1009	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
10	9	znegcld 9323	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u ( Im ` A ) e. ZZ )
11	8, 10	eqeltrd 2247	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` -u A ) e. ZZ )
12		elgz 12310	. 2 |- ( -u A e. ZZ[_i] <-> ( -u A e. CC /\ ( Re ` -u A ) e. ZZ /\ ( Im ` -u A ) e. ZZ ) )
13	2, 7, 11, 12	syl3anbrc 1176	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u A e. ZZ[_i] )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   ` cfv 5196   CCcc 7759   -ucneg 8078   ZZcz 9199   Recre 10791   Imcim 10792   ZZ[_i]cgz 12308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-z 9200  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-gz 12309

This theorem is referenced by:  gzsubcl  12319