Theorem gznegcl 12410

Description: The gaussian integers are closed under negation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gznegcl	|- ( A e. ZZ[_i] -> -u A e. ZZ[_i] )

Proof of Theorem gznegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12407	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2	1	negcld 8286	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u A e. CC )
3	1	renegd 10998	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
4		elgz 12406	. . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
5	4	simp2bi 1015	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
6	5	znegcld 9408	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u ( Re ` A ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2266	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` -u A ) e. ZZ )
8	1	imnegd 10999	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )
9	4	simp3bi 1016	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
10	9	znegcld 9408	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u ( Im ` A ) e. ZZ )
11	8, 10	eqeltrd 2266	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` -u A ) e. ZZ )
12		elgz 12406	. 2 |- ( -u A e. ZZ[_i] <-> ( -u A e. CC /\ ( Re ` -u A ) e. ZZ /\ ( Im ` -u A ) e. ZZ ) )
13	2, 7, 11, 12	syl3anbrc 1183	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> -u A e. ZZ[_i] )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   ` cfv 5235   CCcc 7840   -ucneg 8160   ZZcz 9284   Recre 10884   Imcim 10885   ZZ[_i]cgz 12404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-z 9285  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-gz 12405

This theorem is referenced by:  gzsubcl  12415  gzsubrg  13902