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Theorem mul4sqlem 12332
Description: Lemma for mul4sq 12333: algebraic manipulations. The extra assumptions involving  M would let us know not just that the product is a sum of squares, but also that it preserves divisibility by  M. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
mul4sq.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ[_i] )
mul4sq.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ[_i] )
mul4sq.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ[_i] )
mul4sq.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ[_i] )
mul4sq.5  |-  X  =  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )
mul4sq.6  |-  Y  =  ( ( ( abs `  C ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  D ) ^ 2 ) )
mul4sq.7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
mul4sq.8  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
mul4sq.9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
mul4sq.10  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
mul4sqlem  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  e.  S )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n    A, n    C, n    D, n    n, M    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    A( x, y, z, w)    B( x, y, z, w)    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)    M( x, y, z, w)    X( x, y, z, w, n)    Y( x, y, z, w, n)

Proof of Theorem mul4sqlem
StepHypRef Expression
1 mul4sq.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ[_i] )
2 gzcn 12311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 mul4sq.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ[_i] )
5 gzcn 12311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ZZ[_i]  ->  C  e.  CC )
64, 5syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
73, 6mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
87absvalsqd 11133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  C )  x.  ( * `  ( A  x.  C )
) ) )
97cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
107, 9mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
* `  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
118, 10eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  e.  CC )
12 mul4sq.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ[_i] )
13 gzcn 12311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  B  e.  CC )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
15 mul4sq.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ[_i] )
16 gzcn 12311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ZZ[_i]  ->  D  e.  CC )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1814, 17mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
1918absvalsqd 11133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( * `  ( B  x.  D )
) ) )
2018cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  D )
)  e.  CC )
2118, 20mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
* `  ( B  x.  D ) ) )  e.  CC )
2219, 21eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  e.  CC )
2311, 22addcld 7926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
243cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  A
)  e.  CC )
2524, 6mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  C
)  e.  CC )
2614cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  B
)  e.  CC )
2726, 17mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  D
)  e.  CC )
2825, 27mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  e.  CC )
296cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  C
)  e.  CC )
3014, 29mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )
3117cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  D
)  e.  CC )
323, 31mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  D )
)  e.  CC )
3330, 32mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  e.  CC )
3428, 33addcld 7926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) )  +  ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) ) )  e.  CC )
353, 17mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
3635absvalsqd 11133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  D )  x.  ( * `  ( A  x.  D )
) ) )
3735cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  D )
)  e.  CC )
3835, 37mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
* `  ( A  x.  D ) ) )  e.  CC )
3936, 38eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  e.  CC )
4014, 6mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
4140absvalsqd 11133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( * `  ( B  x.  C )
) ) )
4240cjcld 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
4340, 42mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
* `  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
4441, 43eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  e.  CC )
4539, 44addcld 7926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  D
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4623, 34, 45ppncand 8257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) ) ) )
4714, 31mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  D )
)  e.  CC )
4825, 47addcld 7926 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  e.  CC )
4948absvalsqd 11133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) )  x.  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ) )
5025, 47cjaddd 10916 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  C ) )  +  ( * `  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
5124, 6cjmuld 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  C ) )  =  ( ( * `  ( * `
 A ) )  x.  ( * `  C ) ) )
523cjcjd 10894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  (
* `  A )
)  =  A )
5352oveq1d 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( * `  A
) )  x.  (
* `  C )
)  =  ( A  x.  ( * `  C ) ) )
5451, 53eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  C ) )  =  ( A  x.  ( * `  C ) ) )
5514, 31cjmuld 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( * `  (
* `  D )
) ) )
5617cjcjd 10894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  (
* `  D )
)  =  D )
5756oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  (
* `  ( * `  D ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  D ) )
5855, 57eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  D ) )
5954, 58oveq12d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  C
) )  +  ( * `  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )
6050, 59eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )
6160oveq2d 5866 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  x.  (
* `  ( (
( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  C ) )  +  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
623, 29mulcld 7927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )
6325, 62, 27adddid 7931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
646, 24, 3, 29mul4d 8061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( * `  A
) )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( C  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  C )
) ) )
6524, 6mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  C
)  =  ( C  x.  ( * `  A ) ) )
6665oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( C  x.  ( * `  A ) )  x.  ( A  x.  (
* `  C )
) ) )
673, 6mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
683, 6cjmuld 10917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  C )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  C ) ) )
6967, 68oveq12d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
* `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( C  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  C )
) ) )
7064, 66, 693eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( A  x.  C )  x.  ( * `  ( A  x.  C )
) ) )
7170, 8eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 ) )
7271oveq1d 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( A  x.  (
* `  C )
) )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
7363, 72eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
7447, 62, 27adddid 7931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  D )
)  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
753, 29mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  C )
)  =  ( ( * `  C )  x.  A ) )
7675oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( ( * `  C )  x.  A
) ) )
7714, 31, 29, 3mul4d 8061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  C
)  x.  A ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( ( * `
 D )  x.  A ) ) )
7831, 3mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * `  D )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( * `  D ) ) )
7978oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  D
)  x.  A ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) )
8076, 77, 793eqtrd 2207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) )
8114, 31, 17, 26mul4d 8061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  ( D  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( ( * `  D )  x.  (
* `  B )
) ) )
8226, 17mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  D
)  =  ( D  x.  ( * `  B ) ) )
8382oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 D ) )  x.  ( D  x.  ( * `  B
) ) ) )
8414, 17cjmuld 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  D )
)  =  ( ( * `  B )  x.  ( * `  D ) ) )
8526, 31mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  (
* `  D )
)  =  ( ( * `  D )  x.  ( * `  B ) ) )
8684, 85eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  D )
)  =  ( ( * `  D )  x.  ( * `  B ) ) )
8786oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
* `  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( ( * `  D )  x.  (
* `  B )
) ) )
8881, 83, 873eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( * `  ( B  x.  D
) ) ) )
8988, 19eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  =  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )
9080, 89oveq12d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( A  x.  (
* `  C )
) )  +  ( ( B  x.  (
* `  D )
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) )
9174, 90eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) )
9273, 91oveq12d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( A  x.  ( * `  C
) )  +  ( ( * `  B
)  x.  D ) ) )  +  ( ( B  x.  (
* `  D )
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )  +  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) ) ) )
9362, 27addcld 7926 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( * `  C
) )  +  ( ( * `  B
)  x.  D ) )  e.  CC )
9425, 47, 93adddird 7932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  C
) )  +  ( ( * `  B
)  x.  D ) ) ) ) )
9511, 22, 28, 33add42d 8076 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )  +  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) ) ) )
9692, 94, 953eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
9749, 61, 963eqtrd 2207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
9824, 17mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  D
)  e.  CC )
9998, 30subcld 8217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  e.  CC )
10099absvalsqd 11133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) )  x.  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ) )
101 cjsub 10843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  e.  CC  /\  ( B  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )  ->  ( * `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  D ) )  -  ( * `  ( B  x.  (
* `  C )
) ) ) )
10298, 30, 101syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  D ) )  -  ( * `  ( B  x.  (
* `  C )
) ) ) )
10324, 17cjmuld 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  D ) )  =  ( ( * `  ( * `
 A ) )  x.  ( * `  D ) ) )
10452oveq1d 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( * `  A
) )  x.  (
* `  D )
)  =  ( A  x.  ( * `  D ) ) )
105103, 104eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  D ) )  =  ( A  x.  ( * `  D ) ) )
10614, 29cjmuld 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( * `  (
* `  C )
) ) )
1076cjcjd 10894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  (
* `  C )
)  =  C )
108107oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  (
* `  ( * `  C ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  C ) )
109106, 108eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  C ) )
110105, 109oveq12d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  D
) )  -  (
* `  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  D ) )  -  ( ( * `  B )  x.  C
) ) )
111102, 110eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 D ) )  -  ( ( * `
 B )  x.  C ) ) )
112111oveq2d 5866 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  x.  (
* `  ( (
( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  D ) )  -  ( ( * `  B )  x.  C
) ) ) )
11326, 6mulcld 7927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  C
)  e.  CC )
11432, 113subcld 8217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( * `  D
) )  -  (
( * `  B
)  x.  C ) )  e.  CC )
11598, 30, 114subdird 8321 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 D ) )  -  ( ( * `
 B )  x.  C ) ) )  -  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  D
) )  -  (
( * `  B
)  x.  C ) ) ) ) )
11698, 32, 113subdid 8320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( ( * `  A )  x.  D )  x.  ( ( * `  B )  x.  C
) ) ) )
11717, 24, 3, 31mul4d 8061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( * `  A
) )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( D  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  D )
) ) )
11824, 17mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  D
)  =  ( D  x.  ( * `  A ) ) )
119118oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( D  x.  ( * `  A ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) )
1203, 17mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  =  ( D  x.  A ) )
1213, 17cjmuld 10917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  D )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  D ) ) )
122120, 121oveq12d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
* `  ( A  x.  D ) ) )  =  ( ( D  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  D )
) ) )
123117, 119, 1223eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  x.  ( * `  ( A  x.  D )
) ) )
124123, 36eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  x.  D
) ) ^ 2 ) )
12526, 6mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  C
)  =  ( C  x.  ( * `  B ) ) )
126125oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  x.  ( C  x.  ( * `  B
) ) ) )
12724, 17, 6, 26mul4d 8061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( C  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( D  x.  (
* `  B )
) ) )
12817, 26mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( * `  B )  x.  D ) )
129128oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( D  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )
130126, 127, 1293eqtrd 2207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  x.  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )
131124, 130oveq12d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  -  (
( ( * `  A )  x.  D
)  x.  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
132116, 131eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
13330, 32, 113subdid 8320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( ( * `  B )  x.  C
) ) ) )
134125oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( C  x.  ( * `  B
) ) ) )
13514, 29, 6, 26mul4d 8061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  ( C  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( ( * `  C )  x.  (
* `  B )
) ) )
13629, 26mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( * `  C )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( * `  B )  x.  ( * `  C ) ) )
13714, 6cjmuld 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  C )
)  =  ( ( * `  B )  x.  ( * `  C ) ) )
138136, 137eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  C )  x.  (
* `  B )
)  =  ( * `
 ( B  x.  C ) ) )
139138oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
( * `  C
)  x.  ( * `
 B ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( * `  ( B  x.  C
) ) ) )
140134, 135, 1393eqtrd 2207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( * `  ( B  x.  C
) ) ) )
141140, 41eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( abs `  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )
142141oveq2d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  -  (
( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )
143133, 142eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )
144132, 143oveq12d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  x.  ( ( A  x.  ( * `  D
) )  -  (
( * `  B
)  x.  C ) ) )  -  (
( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 D ) )  -  ( ( * `
 B )  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )  -  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  -  (
( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) ) ) )
14539, 28, 33, 44subadd4d 8265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) ) )  -  (
( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) ) )
146115, 144, 1453eqtrd 2207 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
147100, 112, 1463eqtrd 2207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
14897, 147oveq12d 5868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) ) )
1493, 24mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  CC )
15014, 26mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  B )
)  e.  CC )
1516, 29mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )
15217, 31mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
* `  D )
)  e.  CC )
153151, 152addcld 7926 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) )  e.  CC )
154149, 150, 153adddird 7932 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  x.  ( ( C  x.  ( * `
 C ) )  +  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) ) ) )
15568oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
* `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( A  x.  C )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  C )
) ) )
1563, 6, 24, 29mul4d 8061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
( * `  A
)  x.  ( * `
 C ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) ) )
1578, 155, 1563eqtrd 2207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( C  x.  (
* `  C )
) ) )
158121oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
* `  ( A  x.  D ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  D )
) ) )
1593, 17, 24, 31mul4d 8061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
( * `  A
)  x.  ( * `
 D ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )
16036, 158, 1593eqtrd 2207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) )
161157, 160oveq12d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) )  +  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) ) )
162149, 151, 152adddid 7931 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  x.  ( C  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) ) )
163161, 162eqtr4d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) ) )
164137oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
* `  ( B  x.  C ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  (
* `  C )
) ) )
16514, 6, 26, 29mul4d 8061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  ( * `
 C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) ) )
16641, 164, 1653eqtrd 2207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( C  x.  (
* `  C )
) ) )
16784oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
* `  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( ( * `  B )  x.  (
* `  D )
) ) )
16814, 17, 26, 31mul4d 8061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
( * `  B
)  x.  ( * `
 D ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  x.  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )
16919, 167, 1683eqtrd 2207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) )
170166, 169oveq12d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B
) )  x.  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) ) )
171150, 151, 152adddid 7931 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  B
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  B )
)  x.  ( C  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) ) )
172170, 171eqtr4d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) ) )
173163, 172oveq12d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) )  +  ( ( B  x.  (
* `  B )
)  x.  ( ( C  x.  ( * `
 C ) )  +  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
174154, 173eqtr4d 2206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) ) )
175 mul4sq.5 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )
1763absvalsqd 11133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
17714absvalsqd 11133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  =  ( B  x.  ( * `  B
) ) )
178176, 177oveq12d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) ) )
179175, 178eqtrid 2215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  +  ( B  x.  ( * `  B
) ) ) )
180 mul4sq.6 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( ( abs `  C ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  D ) ^ 2 ) )
1816absvalsqd 11133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
) ^ 2 )  =  ( C  x.  ( * `  C
) ) )
18217absvalsqd 11133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  D
) ^ 2 )  =  ( D  x.  ( * `  D
) ) )
183181, 182oveq12d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  C ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  D ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  x.  ( * `  C ) )  +  ( D  x.  (
* `  D )
) ) )
184180, 183eqtrid 2215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( C  x.  ( * `
 C ) )  +  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )
185179, 184oveq12d 5868 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( B  x.  ( * `  B ) ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C ) )  +  ( D  x.  (
* `  D )
) ) ) )
18611, 22, 39, 44add42d 8076 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) ) )
187174, 185, 1863eqtr4d 2213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) ) )
18846, 148, 1873eqtr4d 2213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( X  x.  Y ) )
189188oveq1d 5865 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 ) )  /  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M ^ 2 ) ) )
190 mul4sq.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
191190nncnd 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
192190nnap0d 8911 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M #  0 )
19348, 191, 192absdivapd 11146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )  /  ( abs `  M
) ) )
194190nnred 8878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
195190nnnn0d 9175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
196195nn0ge0d 9178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
197194, 196absidd 11118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  M
)  =  M )
198197oveq2d 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  /  ( abs `  M ) )  =  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  /  M ) )
199193, 198eqtrd 2203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )  /  M ) )
200199oveq1d 5865 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )  /  M ) ^
2 ) )
20148abscld 11132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  e.  RR )
202201recnd 7935 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  e.  CC )
203202, 191, 192sqdivapd 10609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) ) )  /  M
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  / 
( M ^ 2 ) ) )
204200, 203eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  / 
( M ^ 2 ) ) )
20599, 191, 192absdivapd 11146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  ( abs `  M ) ) )
206197oveq2d 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  ( abs `  M ) )  =  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) )
207205, 206eqtrd 2203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) )
208207oveq1d 5865 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) ^ 2 ) )
20999abscld 11132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  e.  RR )
210209recnd 7935 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  e.  CC )
211210, 191, 192sqdivapd 10609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) )
212208, 211eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) )
213204, 212oveq12d 5868 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) ) )
21423, 34addcld 7926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) )  e.  CC )
21597, 214eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
21645, 34subcld 8217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) )  e.  CC )
217147, 216eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
218190nnsqcld 10617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
219218nncnd 8879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
220218nnap0d 8911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 ) #  0 )
221215, 217, 219, 220divdirapd 8733 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 ) )  /  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) ) )
222213, 221eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 ) )  /  ( M ^ 2 ) ) )
223176, 149eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
224177, 150eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  CC )
225223, 224addcld 7926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  CC )
226175, 225eqeltrid 2257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
227184, 153eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
228226, 191, 227, 191, 192, 192divmuldivapd 8736 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M  x.  M
) ) )
229191sqvald 10593 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
230229oveq2d 5866 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  /  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M  x.  M
) ) )
231228, 230eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M ^ 2 ) ) )
232189, 222, 2313eqtr4d 2213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M
) ) )
233226, 48nncand 8222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( X  -  ( (
( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )
234149, 150, 25, 47addsub4d 8264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) )  -  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  -  ( ( * `  A )  x.  C ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  -  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
235179oveq1d 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  -  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( B  x.  ( * `  B ) ) )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
23624, 3, 6subdid 8320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C )
)  =  ( ( ( * `  A
)  x.  A )  -  ( ( * `
 A )  x.  C ) ) )
23724, 3mulcomd 7928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
238237oveq1d 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  A )  -  (
( * `  A
)  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  C ) ) )
239236, 238eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C )
)  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  C ) ) )
240 cjsub 10843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( * `  ( B  -  D )
)  =  ( ( * `  B )  -  ( * `  D ) ) )
24114, 17, 240syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  -  D )
)  =  ( ( * `  B )  -  ( * `  D ) ) )
242241oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  B )  -  (
* `  D )
) ) )
24314, 26, 31subdid 8320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( * `  B
)  -  ( * `
 D ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  -  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )
244242, 243eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  -  ( B  x.  (
* `  D )
) ) )
245239, 244oveq12d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  -  ( ( * `  A )  x.  C ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  -  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
246234, 235, 2453eqtr4d 2213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) ) ) )
247246oveq2d 5866 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( X  -  ( (
( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  =  ( X  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) ) ) )
248233, 247eqtr3d 2205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  =  ( X  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 5865 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  =  ( ( X  -  ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) ) ) )  /  M ) )
2503, 6subcld 8217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
25124, 250mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C )
)  e.  CC )
25214, 17subcld 8217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  D
)  e.  CC )
253252cjcld 10891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  -  D )
)  e.  CC )
25414, 253mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  e.  CC )
255251, 254addcld 7926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) )  e.  CC )
256226, 255, 191, 192divsubdirapd 8734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) ) )  /  M
)  =  ( ( X  /  M )  -  ( ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) ) )  /  M ) ) )
257251, 254, 191, 192divdirapd 8733 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) )  /  M )  =  ( ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  /  M )  +  ( ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) )  /  M
) ) )
25824, 250, 191, 192divassapd 8730 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  /  M
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )
25914, 253, 191, 192divassapd 8730 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( ( * `
 ( B  -  D ) )  /  M ) ) )
260252, 191, 192cjdivapd 10919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( B  -  D ) )  /  ( * `  M ) ) )
261194cjred 10922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  M
)  =  M )
262261oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( B  -  D
) )  /  (
* `  M )
)  =  ( ( * `  ( B  -  D ) )  /  M ) )
263260, 262eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( B  -  D ) )  /  M ) )
264263oveq2d 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  ( B  -  D
) )  /  M
) ) )
265259, 264eqtr4d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )
266258, 265oveq12d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  /  M )  +  ( ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  /  M ) )  =  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) )
267257, 266eqtrd 2203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) )  /  M )  =  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) )
268267oveq2d 5866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) )  /  M ) )  =  ( ( X  /  M )  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) ) )
269249, 256, 2683eqtrd 2207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  =  ( ( X  /  M )  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) ) )
270 mul4sq.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  NN0 )
271270nn0zd 9319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  ZZ )
272 zgz 12312 . . . . . 6  |-  ( ( X  /  M )  e.  ZZ  ->  ( X  /  M )  e.  ZZ[_i]
)
273271, 272syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
274 gzcjcl 12315 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  A )  e.  ZZ[_i] )
2751, 274syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( * `  A
)  e.  ZZ[_i] )
276 mul4sq.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
277 gzmulcl 12317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  ZZ[_i]  /\  (
( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ[_i] )  ->  (
( * `  A
)  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  e.  ZZ[_i] )
278275, 276, 277syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  e.  ZZ[_i] )
279 mul4sq.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
280 gzcjcl 12315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) )  e.  ZZ[_i] )
281279, 280syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) )  e.  ZZ[_i] )
282 gzmulcl 12317 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ[_i]  /\  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( B  x.  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
28312, 281, 282syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
284 gzaddcl 12316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  e.  ZZ[_i]  /\  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( * `  A
)  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) ) ) )  e.  ZZ[_i]
)
285278, 283, 284syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) )  e.  ZZ[_i] )
286 gzsubcl 12319 . . . . 5  |-  ( ( ( X  /  M
)  e.  ZZ[_i]  /\  (
( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )  e.  ZZ[_i] )  ->  (
( X  /  M
)  -  ( ( ( * `  A
)  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) ) ) ) )  e.  ZZ[_i] )
287273, 285, 286syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  -  (
( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) ) )  e.  ZZ[_i] )
288269, 287eqeltrd 2247 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
289250cjcld 10891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  -  C )
)  e.  CC )
29014, 289mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  e.  CC )
29124, 252mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  e.  CC )
292290, 291, 191, 192divsubdirapd 8734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  -  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( ( ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  /  M )  -  ( ( ( * `
 A )  x.  ( B  -  D
) )  /  M
) ) )
293 cjsub 10843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  -  C )
)  =  ( ( * `  A )  -  ( * `  C ) ) )
2943, 6, 293syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  -  C )
)  =  ( ( * `  A )  -  ( * `  C ) ) )
295294oveq2d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  A )  -  (
* `  C )
) ) )
29614, 24, 29subdid 8320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( * `  A
)  -  ( * `
 C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 A ) )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )
297295, 296eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  A ) )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) ) )
29824, 14, 17subdid 8320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  =  ( ( ( * `  A
)  x.  B )  -  ( ( * `
 A )  x.  D ) ) )
29924, 14mulcomd 7928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( * `  A ) ) )
300299oveq1d 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  B )  -  (
( * `  A
)  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  D ) ) )
301298, 300eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  =  ( ( B  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  D ) ) )
302297, 301oveq12d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  -  (
( * `  A
)  x.  ( B  -  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  A )
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  -  ( ( B  x.  ( * `  A ) )  -  ( ( * `  A )  x.  D
) ) ) )
30314, 24mulcld 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  A )
)  e.  CC )
304303, 30, 98nnncan1d 8251 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  A ) )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  -  (
( B  x.  (
* `  A )
)  -  ( ( * `  A )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )
305302, 304eqtrd 2203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  -  (
( * `  A
)  x.  ( B  -  D ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )
306305oveq1d 5865 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  -  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )
307292, 306eqtr3d 2205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  /  M )  -  (
( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  /  M ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )
30814, 289, 191, 192divassapd 8730 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( ( * `
 ( A  -  C ) )  /  M ) ) )
309250, 191, 192cjdivapd 10919 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( A  -  C ) )  /  ( * `  M ) ) )
310261oveq2d 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( A  -  C
) )  /  (
* `  M )
)  =  ( ( * `  ( A  -  C ) )  /  M ) )
311309, 310eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( A  -  C ) )  /  M ) )
312311oveq2d 5866 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  ( A  -  C
) )  /  M
) ) )
313308, 312eqtr4d 2206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( * `  ( ( A  -  C )  /  M
) ) ) )
31424, 252, 191, 192divassapd 8730 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( B  -  D
) )  /  M
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )
315313, 314oveq12d 5868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  /  M )  -  (
( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  /  M ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )
316307, 315eqtr3d 2205 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  /  M
)  =  ( ( B  x.  ( * `
 ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )
317 gzcjcl 12315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  ( ( A  -  C )  /  M
) )  e.  ZZ[_i] )
318276, 317syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) )  e.  ZZ[_i] )
319 gzmulcl 12317 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ[_i]  /\  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( B  x.  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
32012, 318, 319syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
321 gzmulcl 12317 . . . . . 6  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  ZZ[_i]  /\  (
( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ[_i] )  ->  (
( * `  A
)  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) )  e.  ZZ[_i] )
322275, 279, 321syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  (
( B  -  D
)  /  M ) )  e.  ZZ[_i] )
323 gzsubcl 12319 . . . . 5  |-  ( ( ( B  x.  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i]  /\  ( ( * `  A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( ( A  -  C )  /  M
) ) )  -  ( ( * `  A )  x.  (
( B  -  D
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
324320, 322, 323syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) ) )  -  (
( * `  A
)  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
325316, 324eqeltrd 2247 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
326 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
3273264sqlem4a 12330 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i]  /\  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  /  M
) ) ^ 2 ) )  e.  S
)
328288, 325, 327syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  e.  S )
329232, 328eqeltrrd 2248 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1348    e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759    + caddc 7764    x. cmul 7766    - cmin 8077    / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ^cexp 10462   *ccj 10790   abscabs 10948   ZZ[_i]cgz 12308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-gz 12309
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