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Theorem mul4sqlem 12374

Description: Lemma for mul4sq 12375: algebraic manipulations. The extra assumptions involving

would let us know not just that the product is a sum of squares, but also that it preserves divisibility by

. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1
mul4sq.1
mul4sq.2
mul4sq.3
mul4sq.4
mul4sq.5
mul4sq.6
mul4sq.7
mul4sq.8
mul4sq.9
mul4sq.10

**Assertion**
Ref	Expression
mul4sqlem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem mul4sqlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul4sq.1	. . . . . . . . . . 11
2		gzcn 12353	. . . . . . . . . . 11
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . 10
4		mul4sq.3	. . . . . . . . . . 11
5		gzcn 12353	. . . . . . . . . . 11
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . . 10
7	3, 6	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
8	7	absvalsqd 11175	. . . . . . . 8
9	7	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
10	7, 9	mulcld 7968	. . . . . . . 8
11	8, 10	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
12		mul4sq.2	. . . . . . . . . . 11
13		gzcn 12353	. . . . . . . . . . 11
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10
15		mul4sq.4	. . . . . . . . . . 11
16		gzcn 12353	. . . . . . . . . . 11
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10
18	14, 17	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
19	18	absvalsqd 11175	. . . . . . . 8
20	18	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
21	18, 20	mulcld 7968	. . . . . . . 8
22	19, 21	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
23	11, 22	addcld 7967	. . . . . 6
24	3	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
25	24, 6	mulcld 7968	. . . . . . . 8
26	14	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
27	26, 17	mulcld 7968	. . . . . . . 8
28	25, 27	mulcld 7968	. . . . . . 7
29	6	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
30	14, 29	mulcld 7968	. . . . . . . 8
31	17	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
32	3, 31	mulcld 7968	. . . . . . . 8
33	30, 32	mulcld 7968	. . . . . . 7
34	28, 33	addcld 7967	. . . . . 6
35	3, 17	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
36	35	absvalsqd 11175	. . . . . . . 8
37	35	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
38	35, 37	mulcld 7968	. . . . . . . 8
39	36, 38	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
40	14, 6	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
41	40	absvalsqd 11175	. . . . . . . 8
42	40	cjcld 10933	. . . . . . . . 9
43	40, 42	mulcld 7968	. . . . . . . 8
44	41, 43	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
45	39, 44	addcld 7967	. . . . . 6
46	23, 34, 45	ppncand 8298	. . . . 5
47	14, 31	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
48	25, 47	addcld 7967	. . . . . . . 8
49	48	absvalsqd 11175	. . . . . . 7
50	25, 47	cjaddd 10958	. . . . . . . . 9
51	24, 6	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . 11
52	3	cjcjd 10936	. . . . . . . . . . . 12
53	52	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11
54	51, 53	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
55	14, 31	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . 11
56	17	cjcjd 10936	. . . . . . . . . . . 12
57	56	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
58	55, 57	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
59	54, 58	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9
60	50, 59	eqtrd 2210	. . . . . . . 8
61	60	oveq2d 5885	. . . . . . 7
62	3, 29	mulcld 7968	. . . . . . . . . . 11
63	25, 62, 27	adddid 7972	. . . . . . . . . 10
64	6, 24, 3, 29	mul4d 8102	. . . . . . . . . . . . 13
65	24, 6	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . 14
66	65	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13
67	3, 6	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . 14
68	3, 6	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . . . . 14
69	67, 68	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13
70	64, 66, 69	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12
71	70, 8	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
72	71	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10
73	63, 72	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
74	47, 62, 27	adddid 7972	. . . . . . . . . 10
75	3, 29	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12
77	14, 31, 29, 3	mul4d 8102	. . . . . . . . . . . 12
78	31, 3	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . 13
79	78	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12
80	76, 77, 79	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . 11
81	14, 31, 17, 26	mul4d 8102	. . . . . . . . . . . . 13
82	26, 17	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . 14
83	82	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13
84	14, 17	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . . . . . 15
85	26, 31	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . . 15
86	84, 85	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14
87	86	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13
88	81, 83, 87	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12
89	88, 19	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
90	80, 89	oveq12d 5887	. . . . . . . . . 10
91	74, 90	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
92	73, 91	oveq12d 5887	. . . . . . . 8
93	62, 27	addcld 7967	. . . . . . . . 9
94	25, 47, 93	adddird 7973	. . . . . . . 8
95	11, 22, 28, 33	add42d 8117	. . . . . . . 8
96	92, 94, 95	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7
97	49, 61, 96	3eqtrd 2214	. . . . . 6
98	24, 17	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
99	98, 30	subcld 8258	. . . . . . . 8
100	99	absvalsqd 11175	. . . . . . 7
101		cjsub 10885	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	98, 30, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
103	24, 17	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . 11
104	52	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11
105	103, 104	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
106	14, 29	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . 11
107	6	cjcjd 10936	. . . . . . . . . . . 12
108	107	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
109	106, 108	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9
111	102, 110	eqtrd 2210	. . . . . . . 8
112	111	oveq2d 5885	. . . . . . 7
113	26, 6	mulcld 7968	. . . . . . . . . 10
114	32, 113	subcld 8258	. . . . . . . . 9
115	98, 30, 114	subdird 8362	. . . . . . . 8
116	98, 32, 113	subdid 8361	. . . . . . . . . 10
117	17, 24, 3, 31	mul4d 8102	. . . . . . . . . . . . 13
118	24, 17	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . 14
119	118	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13
120	3, 17	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . 14
121	3, 17	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . . . . 14
122	120, 121	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13
123	117, 119, 122	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12
124	123, 36	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
125	26, 6	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . 13
126	125	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12
127	24, 17, 6, 26	mul4d 8102	. . . . . . . . . . . 12
128	17, 26	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . 13
129	128	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12
130	126, 127, 129	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . 11
131	124, 130	oveq12d 5887	. . . . . . . . . 10
132	116, 131	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
133	30, 32, 113	subdid 8361	. . . . . . . . . 10
134	125	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13
135	14, 29, 6, 26	mul4d 8102	. . . . . . . . . . . . 13
136	29, 26	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . . 15
137	14, 6	cjmuld 10959	. . . . . . . . . . . . . . 15
138	136, 137	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . 14
139	138	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13
140	134, 135, 139	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . 12
141	140, 41	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
142	141	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10
143	133, 142	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
144	132, 143	oveq12d 5887	. . . . . . . 8
145	39, 28, 33, 44	subadd4d 8306	. . . . . . . 8
146	115, 144, 145	3eqtrd 2214	. . . . . . 7
147	100, 112, 146	3eqtrd 2214	. . . . . 6
148	97, 147	oveq12d 5887	. . . . 5
149	3, 24	mulcld 7968	. . . . . . . 8
150	14, 26	mulcld 7968	. . . . . . . 8
151	6, 29	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
152	17, 31	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
153	151, 152	addcld 7967	. . . . . . . 8
154	149, 150, 153	adddird 7973	. . . . . . 7
155	68	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
156	3, 6, 24, 29	mul4d 8102	. . . . . . . . . . 11
157	8, 155, 156	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
158	121	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
159	3, 17, 24, 31	mul4d 8102	. . . . . . . . . . 11
160	36, 158, 159	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
161	157, 160	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9
162	149, 151, 152	adddid 7972	. . . . . . . . 9
163	161, 162	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
164	137	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
165	14, 6, 26, 29	mul4d 8102	. . . . . . . . . . 11
166	41, 164, 165	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
167	84	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
168	14, 17, 26, 31	mul4d 8102	. . . . . . . . . . 11
169	19, 167, 168	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
170	166, 169	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9
171	150, 151, 152	adddid 7972	. . . . . . . . 9
172	170, 171	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
173	163, 172	oveq12d 5887	. . . . . . 7
174	154, 173	eqtr4d 2213	. . . . . 6
175		mul4sq.5	. . . . . . . 8
176	3	absvalsqd 11175	. . . . . . . . 9
177	14	absvalsqd 11175	. . . . . . . . 9
178	176, 177	oveq12d 5887	. . . . . . . 8
179	175, 178	eqtrid 2222	. . . . . . 7
180		mul4sq.6	. . . . . . . 8
181	6	absvalsqd 11175	. . . . . . . . 9
182	17	absvalsqd 11175	. . . . . . . . 9
183	181, 182	oveq12d 5887	. . . . . . . 8
184	180, 183	eqtrid 2222	. . . . . . 7
185	179, 184	oveq12d 5887	. . . . . 6
186	11, 22, 39, 44	add42d 8117	. . . . . 6
187	174, 185, 186	3eqtr4d 2220	. . . . 5
188	46, 148, 187	3eqtr4d 2220	. . . 4
189	188	oveq1d 5884	. . 3
190		mul4sq.7	. . . . . . . . . 10
191	190	nncnd 8922	. . . . . . . . 9
192	190	nnap0d 8954	. . . . . . . . 9 #
193	48, 191, 192	absdivapd 11188	. . . . . . . 8
194	190	nnred 8921	. . . . . . . . . 10
195	190	nnnn0d 9218	. . . . . . . . . . 11
196	195	nn0ge0d 9221	. . . . . . . . . 10
197	194, 196	absidd 11160	. . . . . . . . 9
198	197	oveq2d 5885	. . . . . . . 8
199	193, 198	eqtrd 2210	. . . . . . 7
200	199	oveq1d 5884	. . . . . 6
201	48	abscld 11174	. . . . . . . 8
202	201	recnd 7976	. . . . . . 7
203	202, 191, 192	sqdivapd 10652	. . . . . 6
204	200, 203	eqtrd 2210	. . . . 5
205	99, 191, 192	absdivapd 11188	. . . . . . . 8
206	197	oveq2d 5885	. . . . . . . 8
207	205, 206	eqtrd 2210	. . . . . . 7
208	207	oveq1d 5884	. . . . . 6
209	99	abscld 11174	. . . . . . . 8
210	209	recnd 7976	. . . . . . 7
211	210, 191, 192	sqdivapd 10652	. . . . . 6
212	208, 211	eqtrd 2210	. . . . 5
213	204, 212	oveq12d 5887	. . . 4
214	23, 34	addcld 7967	. . . . . 6
215	97, 214	eqeltrd 2254	. . . . 5
216	45, 34	subcld 8258	. . . . . 6
217	147, 216	eqeltrd 2254	. . . . 5
218	190	nnsqcld 10660	. . . . . 6
219	218	nncnd 8922	. . . . 5
220	218	nnap0d 8954	. . . . 5 #
221	215, 217, 219, 220	divdirapd 8775	. . . 4
222	213, 221	eqtr4d 2213	. . 3
223	176, 149	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
224	177, 150	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
225	223, 224	addcld 7967	. . . . . 6
226	175, 225	eqeltrid 2264	. . . . 5
227	184, 153	eqeltrd 2254	. . . . 5
228	226, 191, 227, 191, 192, 192	divmuldivapd 8778	. . . 4
229	191	sqvald 10636	. . . . 5
230	229	oveq2d 5885	. . . 4
231	228, 230	eqtr4d 2213	. . 3
232	189, 222, 231	3eqtr4d 2220	. 2
233	226, 48	nncand 8263	. . . . . . 7
234	149, 150, 25, 47	addsub4d 8305	. . . . . . . . 9
235	179	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9
236	24, 3, 6	subdid 8361	. . . . . . . . . . 11
237	24, 3	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . 12
238	237	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11
239	236, 238	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
240		cjsub 10885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
241	14, 17, 240	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
242	241	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
243	14, 26, 31	subdid 8361	. . . . . . . . . . 11
244	242, 243	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
245	239, 244	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9
246	234, 235, 245	3eqtr4d 2220	. . . . . . . 8
247	246	oveq2d 5885	. . . . . . 7
248	233, 247	eqtr3d 2212	. . . . . 6
249	248	oveq1d 5884	. . . . 5
250	3, 6	subcld 8258	. . . . . . . 8
251	24, 250	mulcld 7968	. . . . . . 7
252	14, 17	subcld 8258	. . . . . . . . 9
253	252	cjcld 10933	. . . . . . . 8
254	14, 253	mulcld 7968	. . . . . . 7
255	251, 254	addcld 7967	. . . . . 6
256	226, 255, 191, 192	divsubdirapd 8776	. . . . 5
257	251, 254, 191, 192	divdirapd 8775	. . . . . . 7
258	24, 250, 191, 192	divassapd 8772	. . . . . . . 8
259	14, 253, 191, 192	divassapd 8772	. . . . . . . . 9
260	252, 191, 192	cjdivapd 10961	. . . . . . . . . . 11
261	194	cjred 10964	. . . . . . . . . . . 12
262	261	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
263	260, 262	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
264	263	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
265	259, 264	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
266	258, 265	oveq12d 5887	. . . . . . 7
267	257, 266	eqtrd 2210	. . . . . 6
268	267	oveq2d 5885	. . . . 5
269	249, 256, 268	3eqtrd 2214	. . . 4
270		mul4sq.10	. . . . . . 7
271	270	nn0zd 9362	. . . . . 6
272		zgz 12354	. . . . . 6
273	271, 272	syl 14	. . . . 5
274		gzcjcl 12357	. . . . . . . 8
275	1, 274	syl 14	. . . . . . 7
276		mul4sq.8	. . . . . . 7
277		gzmulcl 12359	. . . . . . 7 $/\$
278	275, 276, 277	syl2anc 411	. . . . . 6
279		mul4sq.9	. . . . . . . 8
280		gzcjcl 12357	. . . . . . . 8
281	279, 280	syl 14	. . . . . . 7
282		gzmulcl 12359	. . . . . . 7 $/\$
283	12, 281, 282	syl2anc 411	. . . . . 6
284		gzaddcl 12358	. . . . . 6 $/\$
285	278, 283, 284	syl2anc 411	. . . . 5
286		gzsubcl 12361	. . . . 5 $/\$
287	273, 285, 286	syl2anc 411	. . . 4
288	269, 287	eqeltrd 2254	. . 3
289	250	cjcld 10933	. . . . . . . 8
290	14, 289	mulcld 7968	. . . . . . 7
291	24, 252	mulcld 7968	. . . . . . 7
292	290, 291, 191, 192	divsubdirapd 8776	. . . . . 6
293		cjsub 10885	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
294	3, 6, 293	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
295	294	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10
296	14, 24, 29	subdid 8361	. . . . . . . . . 10
297	295, 296	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
298	24, 14, 17	subdid 8361	. . . . . . . . . 10
299	24, 14	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . 11
300	299	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10
301	298, 300	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
302	297, 301	oveq12d 5887	. . . . . . . 8
303	14, 24	mulcld 7968	. . . . . . . . 9
304	303, 30, 98	nnncan1d 8292	. . . . . . . 8
305	302, 304	eqtrd 2210	. . . . . . 7
306	305	oveq1d 5884	. . . . . 6
307	292, 306	eqtr3d 2212	. . . . 5
308	14, 289, 191, 192	divassapd 8772	. . . . . . 7
309	250, 191, 192	cjdivapd 10961	. . . . . . . . 9
310	261	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
311	309, 310	eqtrd 2210	. . . . . . . 8
312	311	oveq2d 5885	. . . . . . 7
313	308, 312	eqtr4d 2213	. . . . . 6
314	24, 252, 191, 192	divassapd 8772	. . . . . 6
315	313, 314	oveq12d 5887	. . . . 5
316	307, 315	eqtr3d 2212	. . . 4
317		gzcjcl 12357	. . . . . . 7
318	276, 317	syl 14	. . . . . 6
319		gzmulcl 12359	. . . . . 6 $/\$
320	12, 318, 319	syl2anc 411	. . . . 5
321		gzmulcl 12359	. . . . . 6 $/\$
322	275, 279, 321	syl2anc 411	. . . . 5
323		gzsubcl 12361	. . . . 5 $/\$
324	320, 322, 323	syl2anc 411	. . . 4
325	316, 324	eqeltrd 2254	. . 3
326		4sq.1	. . . 4
327	326	4sqlem4a 12372	. . 3 $/\$
328	288, 325, 327	syl2anc 411	. 2
329	232, 328	eqeltrrd 2255	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wceq 1353

wcel 2148

cab 2163

wrex 2456

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

caddc 7805

cmul 7807

cmin 8118

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

cn0 9165

cz 9242

cexp 10505

ccj 10832

cabs 10990

cgz 12350

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-gz 12351

This theorem is referenced by: mul4sq 12375

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