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Theorem mul4sqlem 12393

Description: Lemma for mul4sq 12394: algebraic manipulations. The extra assumptions involving

would let us know not just that the product is a sum of squares, but also that it preserves divisibility by

. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1
mul4sq.1
mul4sq.2
mul4sq.3
mul4sq.4
mul4sq.5
mul4sq.6
mul4sq.7
mul4sq.8
mul4sq.9
mul4sq.10

**Assertion**
Ref	Expression
mul4sqlem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem mul4sqlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul4sq.1	. . . . . . . . . . 11
2		gzcn 12372	. . . . . . . . . . 11
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . 10
4		mul4sq.3	. . . . . . . . . . 11
5		gzcn 12372	. . . . . . . . . . 11
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . . 10
7	3, 6	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
8	7	absvalsqd 11193	. . . . . . . 8
9	7	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
10	7, 9	mulcld 7980	. . . . . . . 8
11	8, 10	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
12		mul4sq.2	. . . . . . . . . . 11
13		gzcn 12372	. . . . . . . . . . 11
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10
15		mul4sq.4	. . . . . . . . . . 11
16		gzcn 12372	. . . . . . . . . . 11
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10
18	14, 17	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
19	18	absvalsqd 11193	. . . . . . . 8
20	18	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
21	18, 20	mulcld 7980	. . . . . . . 8
22	19, 21	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
23	11, 22	addcld 7979	. . . . . 6
24	3	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
25	24, 6	mulcld 7980	. . . . . . . 8
26	14	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
27	26, 17	mulcld 7980	. . . . . . . 8
28	25, 27	mulcld 7980	. . . . . . 7
29	6	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
30	14, 29	mulcld 7980	. . . . . . . 8
31	17	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
32	3, 31	mulcld 7980	. . . . . . . 8
33	30, 32	mulcld 7980	. . . . . . 7
34	28, 33	addcld 7979	. . . . . 6
35	3, 17	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
36	35	absvalsqd 11193	. . . . . . . 8
37	35	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
38	35, 37	mulcld 7980	. . . . . . . 8
39	36, 38	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
40	14, 6	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
41	40	absvalsqd 11193	. . . . . . . 8
42	40	cjcld 10951	. . . . . . . . 9
43	40, 42	mulcld 7980	. . . . . . . 8
44	41, 43	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
45	39, 44	addcld 7979	. . . . . 6
46	23, 34, 45	ppncand 8310	. . . . 5
47	14, 31	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
48	25, 47	addcld 7979	. . . . . . . 8
49	48	absvalsqd 11193	. . . . . . 7
50	25, 47	cjaddd 10976	. . . . . . . . 9
51	24, 6	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . 11
52	3	cjcjd 10954	. . . . . . . . . . . 12
53	52	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . 11
54	51, 53	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
55	14, 31	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . 11
56	17	cjcjd 10954	. . . . . . . . . . . 12
57	56	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
58	55, 57	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
59	54, 58	oveq12d 5895	. . . . . . . . 9
60	50, 59	eqtrd 2210	. . . . . . . 8
61	60	oveq2d 5893	. . . . . . 7
62	3, 29	mulcld 7980	. . . . . . . . . . 11
63	25, 62, 27	adddid 7984	. . . . . . . . . 10
64	6, 24, 3, 29	mul4d 8114	. . . . . . . . . . . . 13
65	24, 6	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . 14
66	65	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . 13
67	3, 6	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . 14
68	3, 6	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . . . . 14
69	67, 68	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . 13
70	64, 66, 69	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12
71	70, 8	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
72	71	oveq1d 5892	. . . . . . . . . 10
73	63, 72	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
74	47, 62, 27	adddid 7984	. . . . . . . . . 10
75	3, 29	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . 12
77	14, 31, 29, 3	mul4d 8114	. . . . . . . . . . . 12
78	31, 3	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . 13
79	78	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . 12
80	76, 77, 79	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . 11
81	14, 31, 17, 26	mul4d 8114	. . . . . . . . . . . . 13
82	26, 17	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . 14
83	82	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . 13
84	14, 17	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . . . . . 15
85	26, 31	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . . 15
86	84, 85	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14
87	86	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . 13
88	81, 83, 87	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12
89	88, 19	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
90	80, 89	oveq12d 5895	. . . . . . . . . 10
91	74, 90	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
92	73, 91	oveq12d 5895	. . . . . . . 8
93	62, 27	addcld 7979	. . . . . . . . 9
94	25, 47, 93	adddird 7985	. . . . . . . 8
95	11, 22, 28, 33	add42d 8129	. . . . . . . 8
96	92, 94, 95	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7
97	49, 61, 96	3eqtrd 2214	. . . . . 6
98	24, 17	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
99	98, 30	subcld 8270	. . . . . . . 8
100	99	absvalsqd 11193	. . . . . . 7
101		cjsub 10903	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	98, 30, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
103	24, 17	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . 11
104	52	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . 11
105	103, 104	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
106	14, 29	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . 11
107	6	cjcjd 10954	. . . . . . . . . . . 12
108	107	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
109	106, 108	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	oveq12d 5895	. . . . . . . . 9
111	102, 110	eqtrd 2210	. . . . . . . 8
112	111	oveq2d 5893	. . . . . . 7
113	26, 6	mulcld 7980	. . . . . . . . . 10
114	32, 113	subcld 8270	. . . . . . . . 9
115	98, 30, 114	subdird 8374	. . . . . . . 8
116	98, 32, 113	subdid 8373	. . . . . . . . . 10
117	17, 24, 3, 31	mul4d 8114	. . . . . . . . . . . . 13
118	24, 17	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . 14
119	118	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . 13
120	3, 17	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . 14
121	3, 17	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . . . . 14
122	120, 121	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . 13
123	117, 119, 122	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12
124	123, 36	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
125	26, 6	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . 13
126	125	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . 12
127	24, 17, 6, 26	mul4d 8114	. . . . . . . . . . . 12
128	17, 26	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . 13
129	128	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . 12
130	126, 127, 129	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . 11
131	124, 130	oveq12d 5895	. . . . . . . . . 10
132	116, 131	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
133	30, 32, 113	subdid 8373	. . . . . . . . . 10
134	125	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . 13
135	14, 29, 6, 26	mul4d 8114	. . . . . . . . . . . . 13
136	29, 26	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . . 15
137	14, 6	cjmuld 10977	. . . . . . . . . . . . . . 15
138	136, 137	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . 14
139	138	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . 13
140	134, 135, 139	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . 12
141	140, 41	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11
142	141	oveq2d 5893	. . . . . . . . . 10
143	133, 142	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
144	132, 143	oveq12d 5895	. . . . . . . 8
145	39, 28, 33, 44	subadd4d 8318	. . . . . . . 8
146	115, 144, 145	3eqtrd 2214	. . . . . . 7
147	100, 112, 146	3eqtrd 2214	. . . . . 6
148	97, 147	oveq12d 5895	. . . . 5
149	3, 24	mulcld 7980	. . . . . . . 8
150	14, 26	mulcld 7980	. . . . . . . 8
151	6, 29	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
152	17, 31	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
153	151, 152	addcld 7979	. . . . . . . 8
154	149, 150, 153	adddird 7985	. . . . . . 7
155	68	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
156	3, 6, 24, 29	mul4d 8114	. . . . . . . . . . 11
157	8, 155, 156	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
158	121	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
159	3, 17, 24, 31	mul4d 8114	. . . . . . . . . . 11
160	36, 158, 159	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
161	157, 160	oveq12d 5895	. . . . . . . . 9
162	149, 151, 152	adddid 7984	. . . . . . . . 9
163	161, 162	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
164	137	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
165	14, 6, 26, 29	mul4d 8114	. . . . . . . . . . 11
166	41, 164, 165	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
167	84	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
168	14, 17, 26, 31	mul4d 8114	. . . . . . . . . . 11
169	19, 167, 168	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10
170	166, 169	oveq12d 5895	. . . . . . . . 9
171	150, 151, 152	adddid 7984	. . . . . . . . 9
172	170, 171	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
173	163, 172	oveq12d 5895	. . . . . . 7
174	154, 173	eqtr4d 2213	. . . . . 6
175		mul4sq.5	. . . . . . . 8
176	3	absvalsqd 11193	. . . . . . . . 9
177	14	absvalsqd 11193	. . . . . . . . 9
178	176, 177	oveq12d 5895	. . . . . . . 8
179	175, 178	eqtrid 2222	. . . . . . 7
180		mul4sq.6	. . . . . . . 8
181	6	absvalsqd 11193	. . . . . . . . 9
182	17	absvalsqd 11193	. . . . . . . . 9
183	181, 182	oveq12d 5895	. . . . . . . 8
184	180, 183	eqtrid 2222	. . . . . . 7
185	179, 184	oveq12d 5895	. . . . . 6
186	11, 22, 39, 44	add42d 8129	. . . . . 6
187	174, 185, 186	3eqtr4d 2220	. . . . 5
188	46, 148, 187	3eqtr4d 2220	. . . 4
189	188	oveq1d 5892	. . 3
190		mul4sq.7	. . . . . . . . . 10
191	190	nncnd 8935	. . . . . . . . 9
192	190	nnap0d 8967	. . . . . . . . 9 #
193	48, 191, 192	absdivapd 11206	. . . . . . . 8
194	190	nnred 8934	. . . . . . . . . 10
195	190	nnnn0d 9231	. . . . . . . . . . 11
196	195	nn0ge0d 9234	. . . . . . . . . 10
197	194, 196	absidd 11178	. . . . . . . . 9
198	197	oveq2d 5893	. . . . . . . 8
199	193, 198	eqtrd 2210	. . . . . . 7
200	199	oveq1d 5892	. . . . . 6
201	48	abscld 11192	. . . . . . . 8
202	201	recnd 7988	. . . . . . 7
203	202, 191, 192	sqdivapd 10669	. . . . . 6
204	200, 203	eqtrd 2210	. . . . 5
205	99, 191, 192	absdivapd 11206	. . . . . . . 8
206	197	oveq2d 5893	. . . . . . . 8
207	205, 206	eqtrd 2210	. . . . . . 7
208	207	oveq1d 5892	. . . . . 6
209	99	abscld 11192	. . . . . . . 8
210	209	recnd 7988	. . . . . . 7
211	210, 191, 192	sqdivapd 10669	. . . . . 6
212	208, 211	eqtrd 2210	. . . . 5
213	204, 212	oveq12d 5895	. . . 4
214	23, 34	addcld 7979	. . . . . 6
215	97, 214	eqeltrd 2254	. . . . 5
216	45, 34	subcld 8270	. . . . . 6
217	147, 216	eqeltrd 2254	. . . . 5
218	190	nnsqcld 10677	. . . . . 6
219	218	nncnd 8935	. . . . 5
220	218	nnap0d 8967	. . . . 5 #
221	215, 217, 219, 220	divdirapd 8788	. . . 4
222	213, 221	eqtr4d 2213	. . 3
223	176, 149	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
224	177, 150	eqeltrd 2254	. . . . . . 7
225	223, 224	addcld 7979	. . . . . 6
226	175, 225	eqeltrid 2264	. . . . 5
227	184, 153	eqeltrd 2254	. . . . 5
228	226, 191, 227, 191, 192, 192	divmuldivapd 8791	. . . 4
229	191	sqvald 10653	. . . . 5
230	229	oveq2d 5893	. . . 4
231	228, 230	eqtr4d 2213	. . 3
232	189, 222, 231	3eqtr4d 2220	. 2
233	226, 48	nncand 8275	. . . . . . 7
234	149, 150, 25, 47	addsub4d 8317	. . . . . . . . 9
235	179	oveq1d 5892	. . . . . . . . 9
236	24, 3, 6	subdid 8373	. . . . . . . . . . 11
237	24, 3	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . 12
238	237	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . 11
239	236, 238	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
240		cjsub 10903	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
241	14, 17, 240	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
242	241	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
243	14, 26, 31	subdid 8373	. . . . . . . . . . 11
244	242, 243	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
245	239, 244	oveq12d 5895	. . . . . . . . 9
246	234, 235, 245	3eqtr4d 2220	. . . . . . . 8
247	246	oveq2d 5893	. . . . . . 7
248	233, 247	eqtr3d 2212	. . . . . 6
249	248	oveq1d 5892	. . . . 5
250	3, 6	subcld 8270	. . . . . . . 8
251	24, 250	mulcld 7980	. . . . . . 7
252	14, 17	subcld 8270	. . . . . . . . 9
253	252	cjcld 10951	. . . . . . . 8
254	14, 253	mulcld 7980	. . . . . . 7
255	251, 254	addcld 7979	. . . . . 6
256	226, 255, 191, 192	divsubdirapd 8789	. . . . 5
257	251, 254, 191, 192	divdirapd 8788	. . . . . . 7
258	24, 250, 191, 192	divassapd 8785	. . . . . . . 8
259	14, 253, 191, 192	divassapd 8785	. . . . . . . . 9
260	252, 191, 192	cjdivapd 10979	. . . . . . . . . . 11
261	194	cjred 10982	. . . . . . . . . . . 12
262	261	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
263	260, 262	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
264	263	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9
265	259, 264	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
266	258, 265	oveq12d 5895	. . . . . . 7
267	257, 266	eqtrd 2210	. . . . . 6
268	267	oveq2d 5893	. . . . 5
269	249, 256, 268	3eqtrd 2214	. . . 4
270		mul4sq.10	. . . . . . 7
271	270	nn0zd 9375	. . . . . 6
272		zgz 12373	. . . . . 6
273	271, 272	syl 14	. . . . 5
274		gzcjcl 12376	. . . . . . . 8
275	1, 274	syl 14	. . . . . . 7
276		mul4sq.8	. . . . . . 7
277		gzmulcl 12378	. . . . . . 7 $/\$
278	275, 276, 277	syl2anc 411	. . . . . 6
279		mul4sq.9	. . . . . . . 8
280		gzcjcl 12376	. . . . . . . 8
281	279, 280	syl 14	. . . . . . 7
282		gzmulcl 12378	. . . . . . 7 $/\$
283	12, 281, 282	syl2anc 411	. . . . . 6
284		gzaddcl 12377	. . . . . 6 $/\$
285	278, 283, 284	syl2anc 411	. . . . 5
286		gzsubcl 12380	. . . . 5 $/\$
287	273, 285, 286	syl2anc 411	. . . 4
288	269, 287	eqeltrd 2254	. . 3
289	250	cjcld 10951	. . . . . . . 8
290	14, 289	mulcld 7980	. . . . . . 7
291	24, 252	mulcld 7980	. . . . . . 7
292	290, 291, 191, 192	divsubdirapd 8789	. . . . . 6
293		cjsub 10903	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
294	3, 6, 293	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
295	294	oveq2d 5893	. . . . . . . . . 10
296	14, 24, 29	subdid 8373	. . . . . . . . . 10
297	295, 296	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
298	24, 14, 17	subdid 8373	. . . . . . . . . 10
299	24, 14	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . 11
300	299	oveq1d 5892	. . . . . . . . . 10
301	298, 300	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
302	297, 301	oveq12d 5895	. . . . . . . 8
303	14, 24	mulcld 7980	. . . . . . . . 9
304	303, 30, 98	nnncan1d 8304	. . . . . . . 8
305	302, 304	eqtrd 2210	. . . . . . 7
306	305	oveq1d 5892	. . . . . 6
307	292, 306	eqtr3d 2212	. . . . 5
308	14, 289, 191, 192	divassapd 8785	. . . . . . 7
309	250, 191, 192	cjdivapd 10979	. . . . . . . . 9
310	261	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9
311	309, 310	eqtrd 2210	. . . . . . . 8
312	311	oveq2d 5893	. . . . . . 7
313	308, 312	eqtr4d 2213	. . . . . 6
314	24, 252, 191, 192	divassapd 8785	. . . . . 6
315	313, 314	oveq12d 5895	. . . . 5
316	307, 315	eqtr3d 2212	. . . 4
317		gzcjcl 12376	. . . . . . 7
318	276, 317	syl 14	. . . . . 6
319		gzmulcl 12378	. . . . . 6 $/\$
320	12, 318, 319	syl2anc 411	. . . . 5
321		gzmulcl 12378	. . . . . 6 $/\$
322	275, 279, 321	syl2anc 411	. . . . 5
323		gzsubcl 12380	. . . . 5 $/\$
324	320, 322, 323	syl2anc 411	. . . 4
325	316, 324	eqeltrd 2254	. . 3
326		4sq.1	. . . 4
327	326	4sqlem4a 12391	. . 3 $/\$
328	288, 325, 327	syl2anc 411	. 2
329	232, 328	eqeltrrd 2255	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wceq 1353

wcel 2148

cab 2163

wrex 2456

cfv 5218 (class class class)co 5877

cc 7811

caddc 7816

cmul 7818

cmin 8130

cdiv 8631

cn 8921

c2 8972

cn0 9178

cz 9255

cexp 10521

ccj 10850

cabs 11008

cgz 12369

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-rp 9656 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-gz 12370

This theorem is referenced by: mul4sq 12394

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