Theorem 4sqlem4 12333

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	|- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   v, n, A, u   S, n, u, v   u, A

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2	1	4sqlem2 12330	. . 3 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3		gzreim 12320	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
4	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
5		gzreim 12320	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
6	5	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
7		gzcn 12313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
8	3, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
9	8	absvalsq2d 11136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) )
10		zre 9205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ZZ -> a e. RR )
11		zre 9205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
12		crre 10810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
13	10, 11, 12	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
14	13	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
15		crim 10811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
16	10, 11, 15	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
17	16	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
18	14, 17	oveq12d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
19	9, 18	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
20		gzcn 12313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
21	5, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
22	21	absvalsq2d 11136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
23		zre 9205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ZZ -> c e. RR )
24		zre 9205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. ZZ -> d e. RR )
25		crre 10810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
26	23, 24, 25	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
27	26	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
28		crim 10811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
29	23, 24, 28	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
30	29	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
31	27, 30	oveq12d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
32	22, 31	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
33	19, 32	oveqan12d 5870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
34	33	eqcomd 2176	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
35		fveq2 5494	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( abs ` u ) = ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) )
36	35	oveq1d 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) )
37	36	oveq1d 5866	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
38	37	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
39		fveq2 5494	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( abs ` v ) = ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) )
40	39	oveq1d 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( abs ` v ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) )
41	40	oveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
42	41	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	38, 42	rspc2ev 2849	. . . . . . 7 |- ( ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] /\ ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
45		eqeq1 2177	. . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
46	45	2rexbidv 2495	. . . . . 6 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
48	47	rexlimdvva 2595	. . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
49	48	rexlimivv 2593	. . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
50	2, 49	sylbi 120	. 2 |- ( A e. S -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
51	1	4sqlem4a 12332	. . . 4 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S )
52		eleq1a 2242	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
54	53	rexlimivv 2593	. 2 |- ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S )
55	50, 54	impbii 125	1 |- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7761   RRcr 7762   _ici 7765   + caddc 7766   x. cmul 7768   2c2 8918   ZZcz 9201   ^cexp 10464   Recre 10793   Imcim 10794   abscabs 10950   ZZ[_i]cgz 12310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-rp 9600  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-gz 12311

This theorem is referenced by:  mul4sq  12335