Theorem 4sqlem4 12748

Description: Lemma for 4sq 12766. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	|- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   v, n, A, u   S, n, u, v   u, A

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2	1	4sqlem2 12745	. . 3 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3		gzreim 12735	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
5		gzreim 12735	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
7		gzcn 12728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
8	3, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
9	8	absvalsq2d 11527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) )
10		zre 9378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ZZ -> a e. RR )
11		zre 9378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
12		crre 11201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
14	13	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
15		crim 11202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
16	10, 11, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
17	16	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
18	14, 17	oveq12d 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
19	9, 18	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
20		gzcn 12728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
21	5, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
22	21	absvalsq2d 11527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
23		zre 9378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ZZ -> c e. RR )
24		zre 9378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. ZZ -> d e. RR )
25		crre 11201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
26	23, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
27	26	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
28		crim 11202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
29	23, 24, 28	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
30	29	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
31	27, 30	oveq12d 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
32	22, 31	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
33	19, 32	oveqan12d 5965	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
34	33	eqcomd 2211	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
35		fveq2 5578	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( abs ` u ) = ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) )
36	35	oveq1d 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) )
37	36	oveq1d 5961	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
38	37	eqeq2d 2217	. . . . . . . 8 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
39		fveq2 5578	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( abs ` v ) = ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) )
40	39	oveq1d 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( abs ` v ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) )
41	40	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
42	41	eqeq2d 2217	. . . . . . . 8 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	38, 42	rspc2ev 2892	. . . . . . 7 |- ( ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] /\ ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
45		eqeq1 2212	. . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
46	45	2rexbidv 2531	. . . . . 6 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
48	47	rexlimdvva 2631	. . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
49	48	rexlimivv 2629	. . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
50	2, 49	sylbi 121	. 2 |- ( A e. S -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
51	1	4sqlem4a 12747	. . . 4 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S )
52		eleq1a 2277	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
54	53	rexlimivv 2629	. 2 |- ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S )
55	50, 54	impbii 126	1 |- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   E.wrex 2485   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   _ici 7929   + caddc 7930   x. cmul 7932   2c2 9089   ZZcz 9374   ^cexp 10685   Recre 11184   Imcim 11185   abscabs 11341   ZZ[_i]cgz 12725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-gz 12726

This theorem is referenced by:  mul4sq  12750