Theorem 4sqlem4 13045

Description: Lemma for 4sq 13063. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	|- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   v, n, A, u   S, n, u, v   u, A

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2	1	4sqlem2 13042	. . 3 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3		gzreim 13032	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
5		gzreim 13032	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
7		gzcn 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
8	3, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
9	8	absvalsq2d 11823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) )
10		zre 9544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ZZ -> a e. RR )
11		zre 9544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
12		crre 11497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
14	13	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
15		crim 11498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
16	10, 11, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
17	16	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
18	14, 17	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
19	9, 18	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
20		gzcn 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
21	5, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
22	21	absvalsq2d 11823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
23		zre 9544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ZZ -> c e. RR )
24		zre 9544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. ZZ -> d e. RR )
25		crre 11497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
26	23, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
27	26	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
28		crim 11498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
29	23, 24, 28	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
30	29	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
31	27, 30	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
32	22, 31	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
33	19, 32	oveqan12d 6047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
34	33	eqcomd 2237	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
35		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( abs ` u ) = ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) )
36	35	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) )
37	36	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
38	37	eqeq2d 2243	. . . . . . . 8 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
39		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( abs ` v ) = ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) )
40	39	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( abs ` v ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) )
41	40	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
42	41	eqeq2d 2243	. . . . . . . 8 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	38, 42	rspc2ev 2926	. . . . . . 7 |- ( ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] /\ ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
45		eqeq1 2238	. . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
46	45	2rexbidv 2558	. . . . . 6 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
48	47	rexlimdvva 2659	. . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
49	48	rexlimivv 2657	. . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
50	2, 49	sylbi 121	. 2 |- ( A e. S -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
51	1	4sqlem4a 13044	. . . 4 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S )
52		eleq1a 2303	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
54	53	rexlimivv 2657	. 2 |- ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S )
55	50, 54	impbii 126	1 |- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2512   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097   2c2 9253   ZZcz 9540   ^cexp 10863   Recre 11480   Imcim 11481   abscabs 11637   ZZ[_i]cgz 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-gz 13023

This theorem is referenced by:  mul4sq  13047