Theorem 4sqlem4 12318

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	|- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   v, n, A, u   S, n, u, v   u, A

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2	1	4sqlem2 12315	. . 3 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3		gzreim 12305	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
4	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] )
5		gzreim 12305	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
6	5	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] )
7		gzcn 12298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
8	3, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
9	8	absvalsq2d 11121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) )
10		zre 9191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ZZ -> a e. RR )
11		zre 9191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
12		crre 10795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
13	10, 11, 12	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = a )
14	13	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
15		crim 10796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
16	10, 11, 15	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) = b )
17	16	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
18	14, 17	oveq12d 5859	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
19	9, 18	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
20		gzcn 12298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
21	5, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( c + ( _i x. d ) ) e. CC )
22	21	absvalsq2d 11121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
23		zre 9191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ZZ -> c e. RR )
24		zre 9191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. ZZ -> d e. RR )
25		crre 10795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
26	23, 24, 25	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = c )
27	26	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
28		crim 10796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
29	23, 24, 28	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) = d )
30	29	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
31	27, 30	oveq12d 5859	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
32	22, 31	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
33	19, 32	oveqan12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
34	33	eqcomd 2171	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
35		fveq2 5485	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( abs ` u ) = ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) )
36	35	oveq1d 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) )
37	36	oveq1d 5856	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
38	37	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( u = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
39		fveq2 5485	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( abs ` v ) = ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) )
40	39	oveq1d 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( abs ` v ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) )
41	40	oveq2d 5857	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) )
42	41	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( v = ( c + ( _i x. d ) ) -> ( ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	38, 42	rspc2ev 2844	. . . . . . 7 |- ( ( ( a + ( _i x. b ) ) e. ZZ[_i] /\ ( c + ( _i x. d ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` ( a + ( _i x. b ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( c + ( _i x. d ) ) ) ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
45		eqeq1 2172	. . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
46	45	2rexbidv 2490	. . . . . 6 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
48	47	rexlimdvva 2590	. . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) ) )
49	48	rexlimivv 2588	. . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
50	2, 49	sylbi 120	. 2 |- ( A e. S -> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )
51	1	4sqlem4a 12317	. . . 4 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S )
52		eleq1a 2237	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) e. S -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( u e. ZZ[_i] /\ v e. ZZ[_i] ) -> ( A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
54	53	rexlimivv 2588	. 2 |- ( E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) -> A e. S )
55	50, 54	impbii 125	1 |- ( A e. S <-> E. u e. ZZ[_i] E. v e. ZZ[_i] A = ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + ( ( abs ` v ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2444   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   RRcr 7748   _ici 7751   + caddc 7752   x. cmul 7754   2c2 8904   ZZcz 9187   ^cexp 10450   Recre 10778   Imcim 10779   abscabs 10935   ZZ[_i]cgz 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-rp 9586  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-gz 12296

This theorem is referenced by:  mul4sq  12320