Theorem gzabssqcl 12412

Description: The squared norm of a gaussian integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzabssqcl	|- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )

Proof of Theorem gzabssqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12403	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2	1	absvalsq2d 11223	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
3		elgz 12402	. . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
4	3	simp2bi 1015	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
5		zsqcl2 10628	. . . 4 |- ( ( Re ` A ) e. ZZ -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
7	3	simp3bi 1016	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
8		zsqcl2 10628	. . . 4 |- ( ( Im ` A ) e. ZZ -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
10	6, 9	nn0addcld 9262	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. NN0 )
11	2, 10	eqeltrd 2266	1 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   + caddc 7843   2c2 8999   NN0cn0 9205   ZZcz 9282   ^cexp 10549   Recre 10880   Imcim 10881   abscabs 11037   ZZ[_i]cgz 12400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959  ax-caucvg 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-rp 9683  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884  df-rsqrt 11038  df-abs 11039  df-gz 12401

This theorem is referenced by:  mul4sq  12425