Theorem 4sqlem4a 12317

Description: Lemma for 4sqlem4 12318. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4a	|- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) e. S )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   A, n   S, n

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   B( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12298	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2	1	absvalsq2d 11121	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
3		gzcn 12298	. . . 4 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
4	3	absvalsq2d 11121	. . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) )
5	2, 4	oveqan12d 5860	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
6		elgz 12297	. . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
7	6	simp2bi 1003	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
8	6	simp3bi 1004	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
9	7, 8	jca 304	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
10		elgz 12297	. . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
11	10	simp2bi 1003	. . . 4 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
12	10	simp3bi 1004	. . . 4 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
13	11, 12	jca 304	. . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
14		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
15	14	4sqlem3 12316	. . 3 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) /\ ( ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) e. S )
16	9, 13, 15	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) e. S )
17	5, 16	eqeltrd 2242	1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2444   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   + caddc 7752   2c2 8904   ZZcz 9187   ^cexp 10450   Recre 10778   Imcim 10779   abscabs 10935   ZZ[_i]cgz 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-rp 9586  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-gz 12296

This theorem is referenced by:  4sqlem4  12318  mul4sqlem  12319