Theorem 2sqlem2 16148

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	|- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y   x, A, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   A( w)   S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2	1	2sqlem1 16147	. . 3 |- ( A e. S <-> E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
3		elgz 13128	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] <-> ( z e. CC /\ ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ ) )
4	3	simp2bi 1044	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Re ` z ) e. ZZ )
5	3	simp3bi 1045	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Im ` z ) e. ZZ )
6		gzcn 13129	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] -> z e. CC )
7	6	absvalsq2d 11927	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 6082	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( Re ` z ) ^ 2 ) )
9	8	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2250	. . . . . . 7 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
11		oveq1 6082	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( Im ` z ) ^ 2 ) )
12	11	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
13	12	eqeq2d 2250	. . . . . . 7 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) )
14	10, 13	rspc2ev 2945	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ /\ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( z e. ZZ[_i] -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
17	16	2rexbidv 2575	. . . . 5 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
18	15, 17	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
19	18	rexlimiv 2662	. . 3 |- ( E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
20	2, 19	sylbi 121	. 2 |- ( A e. S -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
21		gzreim 13136	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] )
22		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		ax-icn 8264	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
24		zcn 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
25		mulcl 8296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ y e. CC ) -> ( _i x. y ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( _i x. y ) e. CC )
27		addcl 8294	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( _i x. y ) e. CC ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
28	22, 26, 27	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
29	28	absvalsq2d 11927	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) )
30		zre 9627	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
31		zre 9627	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
32		crre 11600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
34	33	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
35		crim 11601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
37	36	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
38	34, 37	oveq12d 6093	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	29, 38	eqtr2d 2272	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
40		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
41	40	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
42	41	rspceeqv 2948	. . . . . 6 |- ( ( ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
43	21, 39, 42	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
44	1	2sqlem1 16147	. . . . 5 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S <-> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
45	43, 44	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S )
46		eleq1 2301	. . . 4 |- ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( A e. S <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
48	47	rexlimivv 2674	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S )
49	20, 48	impbii 126	1 |- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   |-> cmpt 4187   ran crn 4770   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   _ici 8171   + caddc 8172   x. cmul 8174   2c2 9334   ZZcz 9623   ^cexp 10953   Recre 11583   Imcim 11584   abscabs 11741   ZZ[_i]cgz 13126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-gz 13127

This theorem is referenced by:  2sqlem5  16152  2sqlem7  16154