Theorem 2sqlem2 15934

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	|- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y   x, A, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   A( w)   S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2	1	2sqlem1 15933	. . 3 |- ( A e. S <-> E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
3		elgz 13024	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] <-> ( z e. CC /\ ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ ) )
4	3	simp2bi 1040	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Re ` z ) e. ZZ )
5	3	simp3bi 1041	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Im ` z ) e. ZZ )
6		gzcn 13025	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] -> z e. CC )
7	6	absvalsq2d 11823	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( Re ` z ) ^ 2 ) )
9	8	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2243	. . . . . . 7 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
11		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( Im ` z ) ^ 2 ) )
12	11	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
13	12	eqeq2d 2243	. . . . . . 7 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) )
14	10, 13	rspc2ev 2926	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ /\ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( z e. ZZ[_i] -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16		eqeq1 2238	. . . . . 6 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
17	16	2rexbidv 2558	. . . . 5 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
18	15, 17	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
19	18	rexlimiv 2645	. . 3 |- ( E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
20	2, 19	sylbi 121	. 2 |- ( A e. S -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
21		gzreim 13032	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] )
22		zcn 9545	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		ax-icn 8187	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
24		zcn 9545	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
25		mulcl 8219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ y e. CC ) -> ( _i x. y ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( _i x. y ) e. CC )
27		addcl 8217	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( _i x. y ) e. CC ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
28	22, 26, 27	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
29	28	absvalsq2d 11823	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) )
30		zre 9544	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
31		zre 9544	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
32		crre 11497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
34	33	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
35		crim 11498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
37	36	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
38	34, 37	oveq12d 6046	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	29, 38	eqtr2d 2265	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
40		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
41	40	oveq1d 6043	. . . . . . 7 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
42	41	rspceeqv 2929	. . . . . 6 |- ( ( ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
43	21, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
44	1	2sqlem1 15933	. . . . 5 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S <-> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
45	43, 44	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S )
46		eleq1 2294	. . . 4 |- ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( A e. S <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
48	47	rexlimivv 2657	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S )
49	20, 48	impbii 126	1 |- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   |-> cmpt 4155   ran crn 4732   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097   2c2 9253   ZZcz 9540   ^cexp 10863   Recre 11480   Imcim 11481   abscabs 11637   ZZ[_i]cgz 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-gz 13023

This theorem is referenced by:  2sqlem5  15938  2sqlem7  15940