Theorem 2sqlem2 15202

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	|- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y   x, A, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   A( w)   S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2	1	2sqlem1 15201	. . 3 |- ( A e. S <-> E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
3		elgz 12509	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] <-> ( z e. CC /\ ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ ) )
4	3	simp2bi 1015	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Re ` z ) e. ZZ )
5	3	simp3bi 1016	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Im ` z ) e. ZZ )
6		gzcn 12510	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] -> z e. CC )
7	6	absvalsq2d 11327	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( Re ` z ) ^ 2 ) )
9	8	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
11		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( Im ` z ) ^ 2 ) )
12	11	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
13	12	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) )
14	10, 13	rspc2ev 2879	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ /\ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( z e. ZZ[_i] -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16		eqeq1 2200	. . . . . 6 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
17	16	2rexbidv 2519	. . . . 5 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
18	15, 17	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
19	18	rexlimiv 2605	. . 3 |- ( E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
20	2, 19	sylbi 121	. 2 |- ( A e. S -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
21		gzreim 12517	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] )
22		zcn 9322	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		ax-icn 7967	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
24		zcn 9322	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
25		mulcl 7999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ y e. CC ) -> ( _i x. y ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( _i x. y ) e. CC )
27		addcl 7997	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( _i x. y ) e. CC ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
28	22, 26, 27	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
29	28	absvalsq2d 11327	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) )
30		zre 9321	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
31		zre 9321	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
32		crre 11001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
34	33	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
35		crim 11002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
37	36	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
38	34, 37	oveq12d 5936	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	29, 38	eqtr2d 2227	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
40		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
41	40	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
42	41	rspceeqv 2882	. . . . . 6 |- ( ( ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
43	21, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
44	1	2sqlem1 15201	. . . . 5 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S <-> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
45	43, 44	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S )
46		eleq1 2256	. . . 4 |- ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( A e. S <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
48	47	rexlimivv 2617	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S )
49	20, 48	impbii 126	1 |- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   |-> cmpt 4090   ran crn 4660   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   _ici 7874   + caddc 7875   x. cmul 7877   2c2 9033   ZZcz 9317   ^cexp 10609   Recre 10984   Imcim 10985   abscabs 11141   ZZ[_i]cgz 12507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-gz 12508

This theorem is referenced by:  2sqlem5  15206  2sqlem7  15208