Theorem 2sqlem2 16114

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	|- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y   x, A, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   A( w)   S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2	1	2sqlem1 16113	. . 3 |- ( A e. S <-> E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
3		elgz 13094	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] <-> ( z e. CC /\ ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ ) )
4	3	simp2bi 1040	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Re ` z ) e. ZZ )
5	3	simp3bi 1041	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Im ` z ) e. ZZ )
6		gzcn 13095	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] -> z e. CC )
7	6	absvalsq2d 11893	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( Re ` z ) ^ 2 ) )
9	8	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2246	. . . . . . 7 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
11		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( Im ` z ) ^ 2 ) )
12	11	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
13	12	eqeq2d 2246	. . . . . . 7 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) )
14	10, 13	rspc2ev 2939	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ /\ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( z e. ZZ[_i] -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16		eqeq1 2241	. . . . . 6 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
17	16	2rexbidv 2569	. . . . 5 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
18	15, 17	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
19	18	rexlimiv 2656	. . 3 |- ( E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
20	2, 19	sylbi 121	. 2 |- ( A e. S -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
21		gzreim 13102	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] )
22		zcn 9599	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		ax-icn 8238	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
24		zcn 9599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
25		mulcl 8270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ y e. CC ) -> ( _i x. y ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( _i x. y ) e. CC )
27		addcl 8268	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( _i x. y ) e. CC ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
28	22, 26, 27	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
29	28	absvalsq2d 11893	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) )
30		zre 9598	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
31		zre 9598	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
32		crre 11567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
34	33	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
35		crim 11568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
37	36	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
38	34, 37	oveq12d 6076	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	29, 38	eqtr2d 2268	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
40		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
41	40	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
42	41	rspceeqv 2942	. . . . . 6 |- ( ( ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
43	21, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
44	1	2sqlem1 16113	. . . . 5 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S <-> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
45	43, 44	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S )
46		eleq1 2297	. . . 4 |- ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( A e. S <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
48	47	rexlimivv 2668	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S )
49	20, 48	impbii 126	1 |- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   |-> cmpt 4176   ran crn 4755   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   _ici 8145   + caddc 8146   x. cmul 8148   2c2 9305   ZZcz 9594   ^cexp 10924   Recre 11550   Imcim 11551   abscabs 11707   ZZ[_i]cgz 13092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-gz 13093

This theorem is referenced by:  2sqlem5  16118  2sqlem7  16120