2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 13553

Description: Lemma for 2sqlem5 13555. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12305	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12305	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12304	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . 6
11		gzcn 12298	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12038	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 8867	. . . . 5
17	15	nnap0d 8899	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8682	. . . 4
19	15	nnred 8866	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 10912	. . . . 5
21		prmz 12039	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10521	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9308	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9315	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10581	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4009	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11750	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11766	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12298	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11119	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 7923	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12298	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11119	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 7923	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10596	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 10914	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 10915	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11121	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 10914	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 10915	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11121	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 8867	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 7918	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11132	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5857	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4009	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11121	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12297	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1003	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10521	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9310	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1004	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10521	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9310	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8045	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4007	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 7915	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 7915	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8045	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 7916	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5857	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4007	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 10902	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4009	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9014	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12076	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 166	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 11776	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1232	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 166	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12076	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1228	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 146	. . . . . 6
117	15	nnne0d 8898	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11726	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1228	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 146	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2242	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 10913	. . . . 5
123		dvdsval2 11726	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1228	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 146	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2242	. . . 4
127		elgz 12297	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1171	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11133	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9163	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9166	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11105	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5857	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2198	. . . . 5
135	134	oveq1d 5856	. . . 4
136	12	abscld 11119	. . . . . 6
137	136	recnd 7923	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10597	. . . 4
139	71	oveq1d 5856	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10605	. . . . . . 7
141	140	nncnd 8867	. . . . . 6
142	140	nnap0d 8899	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8688	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2198	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2203	. . 3
146		fveq2 5485	. . . . 5
147	146	oveq1d 5856	. . . 4
148	147	rspceeqv 2847	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 409	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 13550	. 2
152	149, 151	sylibr 133	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 104

wceq 1343

wcel 2136

wne 2335

wrex 2444 class class class wbr 3981

cmpt 4042

crn 4604

cfv 5187 (class class class)co 5841

cc 7747

cc0 7749

ci 7751

caddc 7752

cmul 7754

cdiv 8564

cn 8853

c2 8904

cz 9187

cexp 10450

cre 10778

cim 10779

cabs 10935

cdvds 11723

cprime 12035

cgz 12295

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867 ax-arch 7868 ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-frec 6355 df-1o 6380 df-2o 6381 df-er 6497 df-en 6703 df-sup 6945 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-2 8912 df-3 8913 df-4 8914 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-q 9554 df-rp 9586 df-fz 9941 df-fzo 10074 df-fl 10201 df-mod 10254 df-seqfrec 10377 df-exp 10451 df-cj 10780 df-re 10781 df-im 10782 df-rsqrt 10936 df-abs 10937 df-dvds 11724 df-gcd 11872 df-prm 12036 df-gz 12296

This theorem is referenced by: 2sqlem4 13554

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