2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15442

Description: Lemma for 2sqlem5 15444. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12573	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12573	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12572	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12566	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12303	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9021	. . . . 5
17	15	nnap0d 9053	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8834	. . . 4
19	15	nnred 9020	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11156	. . . . 5
21		prmz 12304	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11996	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10779	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4062	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11996	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12012	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11363	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11363	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10794	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11159	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11365	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11159	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11365	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8067	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11376	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4062	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11365	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12565	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1015	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8194	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4060	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8194	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11146	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4062	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9169	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12341	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12341	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1249	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9052	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11972	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1249	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2273	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11157	. . . . 5
123		dvdsval2 11972	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1249	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2273	. . . 4
127		elgz 12565	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1183	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11377	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9319	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9322	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11349	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5941	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2229	. . . . 5
135	134	oveq1d 5940	. . . 4
136	12	abscld 11363	. . . . . 6
137	136	recnd 8072	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10795	. . . 4
139	71	oveq1d 5940	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10803	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9021	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9053	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8840	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2229	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2234	. . 3
146		fveq2 5561	. . . . 5
147	146	oveq1d 5940	. . . 4
148	147	rspceeqv 2886	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15439	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

wrex 2476 class class class wbr 4034

cmpt 4095

crn 4665

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7894

cc0 7896

ci 7898

caddc 7899

cmul 7901

cdiv 8716

cn 9007

c2 9058

cz 9343

cexp 10647

cre 11022

cim 11023

cabs 11179

cdvds 11969

cprime 12300

cgz 12563

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-er 6601 df-en 6809 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-dvds 11970 df-gcd 12146 df-prm 12301 df-gz 12564

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15443

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