2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15936

Description: Lemma for 2sqlem5 15938. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 13032	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 13032	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 13031	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 13025	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12762	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9216	. . . . 5
17	15	nnap0d 9248	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 9029	. . . 4
19	15	nnred 9215	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11614	. . . . 5
21		prmz 12763	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10935	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12455	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10995	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12455	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12471	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 13025	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11821	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 13025	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11821	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 11010	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11616	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11617	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11823	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11616	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11617	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11823	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8262	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11834	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4121	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11823	. . . . . . . . . 10
74		elgz 13024	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1040	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10935	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9664	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1041	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10935	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9664	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8389	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4119	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8259	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8259	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8389	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8260	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11604	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9364	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12800	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1278	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12800	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1274	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9247	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12431	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1274	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2308	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11615	. . . . 5
123		dvdsval2 12431	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1274	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2308	. . . 4
127		elgz 13024	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1208	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11835	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9516	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9519	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11807	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6044	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2264	. . . . 5
135	134	oveq1d 6043	. . . 4
136	12	abscld 11821	. . . . . 6
137	136	recnd 8267	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 11011	. . . 4
139	71	oveq1d 6043	. . . . 5
140	15	nnsqcld 11019	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9216	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9248	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 9035	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2264	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2269	. . 3
146		fveq2 5648	. . . . 5
147	146	oveq1d 6043	. . . 4
148	147	rspceeqv 2929	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15933	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1398

wcel 2202

wne 2403

wrex 2512 class class class wbr 4093

cmpt 4155

crn 4732

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8090

cc0 8092

ci 8094

caddc 8095

cmul 8097

cdiv 8911

cn 9202

c2 9253

cz 9540

cexp 10863

cre 11480

cim 11481

cabs 11637

cdvds 12428

cprime 12759

cgz 13022

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211 ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-1o 6625 df-2o 6626 df-er 6745 df-en 6953 df-sup 7243 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-q 9915 df-rp 9950 df-fz 10306 df-fzo 10440 df-fl 10593 df-mod 10648 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-cj 11482 df-re 11483 df-im 11484 df-rsqrt 11638 df-abs 11639 df-dvds 12429 df-gcd 12605 df-prm 12760 df-gz 13023

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15937

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