2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 14503

Description: Lemma for 2sqlem5 14505. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12379	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12379	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12378	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12372	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12112	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 8935	. . . . 5
17	15	nnap0d 8967	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8749	. . . 4
19	15	nnred 8934	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 10985	. . . . 5
21		prmz 12113	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10593	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9383	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11823	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10653	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4033	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11823	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11839	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11192	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 7988	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11192	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 7988	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10668	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 10987	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 10988	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11194	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 10987	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 10988	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11194	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 7983	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11205	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4033	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11194	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12371	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1013	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10593	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9378	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1014	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10593	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9378	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8110	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4031	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 7980	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 7980	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8110	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4031	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 10975	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4033	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9082	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12150	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 11849	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1242	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1238	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 8966	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11799	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1238	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2254	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 10986	. . . . 5
123		dvdsval2 11799	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1238	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2254	. . . 4
127		elgz 12371	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1181	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11206	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9231	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9234	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11178	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5893	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2210	. . . . 5
135	134	oveq1d 5892	. . . 4
136	12	abscld 11192	. . . . . 6
137	136	recnd 7988	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10669	. . . 4
139	71	oveq1d 5892	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10677	. . . . . . 7
141	140	nncnd 8935	. . . . . 6
142	140	nnap0d 8967	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8755	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2210	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2215	. . 3
146		fveq2 5517	. . . . 5
147	146	oveq1d 5892	. . . 4
148	147	rspceeqv 2861	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 14500	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wrex 2456 class class class wbr 4005

cmpt 4066

crn 4629

cfv 5218 (class class class)co 5877

cc 7811

cc0 7813

ci 7815

caddc 7816

cmul 7818

cdiv 8631

cn 8921

c2 8972

cz 9255

cexp 10521

cre 10851

cim 10852

cabs 11008

cdvds 11796

cprime 12109

cgz 12369

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-1o 6419 df-2o 6420 df-er 6537 df-en 6743 df-sup 6985 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-fl 10272 df-mod 10325 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-dvds 11797 df-gcd 11946 df-prm 12110 df-gz 12370

This theorem is referenced by: 2sqlem4 14504

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