2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 16236

Description: Lemma for 2sqlem5 16238. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 13158	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 13158	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . . . . . 7
9		gzmulcl 13157	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . 6
11		gzcn 13151	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12888	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9318	. . . . 5
17	15	nnap0d 9350	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 9120	. . . 4
19	15	nnred 9317	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11740	. . . . 5
21		prmz 12889	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 11047	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9774	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12581	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 11108	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12581	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12597	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 13151	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11947	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 13151	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11947	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 11123	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11742	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11743	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11949	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11742	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11743	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11949	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8349	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11960	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4158	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11949	. . . . . . . . . 10
74		elgz 13150	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1044	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 11047	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9769	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1045	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 11047	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9769	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8477	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4156	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8477	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8347	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11730	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9466	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12926	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12607	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1282	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12926	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1278	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9349	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12557	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1278	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2315	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11741	. . . . 5
123		dvdsval2 12557	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1278	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2315	. . . 4
127		elgz 13150	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1212	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11961	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9620	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9623	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11933	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6101	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2271	. . . . 5
135	134	oveq1d 6100	. . . 4
136	12	abscld 11947	. . . . . 6
137	136	recnd 8354	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 11124	. . . 4
139	71	oveq1d 6100	. . . . 5
140	15	nnsqcld 11132	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9318	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9350	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 9126	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2271	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2276	. . 3
146		fveq2 5695	. . . . 5
147	146	oveq1d 6100	. . . 4
148	147	rspceeqv 2948	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 415	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 16233	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4

wb 105

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wrex 2529 class class class wbr 4130

cmpt 4192

crn 4775

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cc0 8179

ci 8181

caddc 8182

cmul 8184

cdiv 9002

cn 9304

c2 9355

cz 9644

cexp 10975

cre 11605

cim 11606

cabs 11763

cdvds 12554

cprime 12885

cgz 13148

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-1o 6687 df-2o 6688 df-er 6807 df-en 7023 df-sup 7324 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-2 9363 df-3 9364 df-4 9365 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-q 10020 df-rp 10055 df-fz 10412 df-fzo 10550 df-fl 10705 df-mod 10760 df-seqfrec 10885 df-exp 10976 df-cj 11607 df-re 11608 df-im 11609 df-rsqrt 11764 df-abs 11765 df-dvds 12555 df-gcd 12731 df-prm 12886 df-gz 13149

This theorem is used by: 2sqlem4 16237

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