2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15990

Description: Lemma for 2sqlem5 15992. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 13077	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 13077	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 13076	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 13070	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12807	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9251	. . . . 5
17	15	nnap0d 9283	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 9064	. . . 4
19	15	nnred 9250	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11659	. . . . 5
21		prmz 12808	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9706	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12500	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 11032	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12500	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12516	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11866	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11866	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 11047	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11662	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11868	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11662	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11868	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8297	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11879	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4137	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11868	. . . . . . . . . 10
74		elgz 13069	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1040	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1041	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8424	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4135	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8424	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8295	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11649	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9399	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12845	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12526	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1278	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12845	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1274	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9282	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12476	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1274	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2309	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11660	. . . . 5
123		dvdsval2 12476	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1274	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2309	. . . 4
127		elgz 13069	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1208	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11880	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9553	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9556	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11852	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6066	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2265	. . . . 5
135	134	oveq1d 6065	. . . 4
136	12	abscld 11866	. . . . . 6
137	136	recnd 8302	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 11048	. . . 4
139	71	oveq1d 6065	. . . . 5
140	15	nnsqcld 11056	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9251	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9283	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 9070	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2265	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2270	. . 3
146		fveq2 5670	. . . . 5
147	146	oveq1d 6065	. . . 4
148	147	rspceeqv 2939	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15987	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1398

wcel 2203

wne 2412

wrex 2521 class class class wbr 4109

cmpt 4171

crn 4750

cfv 5352 (class class class)co 6050

cc 8125

cc0 8127

ci 8129

caddc 8130

cmul 8132

cdiv 8946

cn 9237

c2 9288

cz 9577

cexp 10900

cre 11525

cim 11526

cabs 11682

cdvds 12473

cprime 12804

cgz 13067

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-frec 6622 df-1o 6647 df-2o 6648 df-er 6767 df-en 6976 df-sup 7275 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-dvds 12474 df-gcd 12650 df-prm 12805 df-gz 13068

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15991

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