2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15812

Description: Lemma for 2sqlem5 15814. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12918	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12918	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12917	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12911	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12648	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9135	. . . . 5
17	15	nnap0d 9167	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8948	. . . 4
19	15	nnred 9134	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11501	. . . . 5
21		prmz 12649	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10844	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9579	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9586	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12341	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10904	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12341	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12357	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12911	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11708	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12911	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11708	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10919	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11503	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11504	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11710	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11503	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11504	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11710	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9135	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8181	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11721	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4111	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11710	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12910	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1037	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10844	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9581	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1038	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10844	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9581	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8308	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4109	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8178	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8178	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8308	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8179	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11491	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9283	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12686	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12367	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1275	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12686	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1271	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9166	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12317	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1271	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2306	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11502	. . . . 5
123		dvdsval2 12317	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1271	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2306	. . . 4
127		elgz 12910	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1205	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11722	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9433	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9436	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11694	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6023	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2262	. . . . 5
135	134	oveq1d 6022	. . . 4
136	12	abscld 11708	. . . . . 6
137	136	recnd 8186	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10920	. . . 4
139	71	oveq1d 6022	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10928	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9135	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9167	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8954	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2262	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2267	. . 3
146		fveq2 5629	. . . . 5
147	146	oveq1d 6022	. . . 4
148	147	rspceeqv 2925	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15809	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wrex 2509 class class class wbr 4083

cmpt 4145

crn 4720

cfv 5318 (class class class)co 6007

cc 8008

cc0 8010

ci 8012

caddc 8013

cmul 8015

cdiv 8830

cn 9121

c2 9172

cz 9457

cexp 10772

cre 11367

cim 11368

cabs 11524

cdvds 12314

cprime 12645

cgz 12908

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129 ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-1o 6568 df-2o 6569 df-er 6688 df-en 6896 df-sup 7162 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-fl 10502 df-mod 10557 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-cj 11369 df-re 11370 df-im 11371 df-rsqrt 11525 df-abs 11526 df-dvds 12315 df-gcd 12491 df-prm 12646 df-gz 12909

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15813

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