2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > 2sqlem3		Unicode version

Theorem 2sqlem3 15358

Description: Lemma for 2sqlem5 15360. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12548	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12548	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12547	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12541	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12278	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9004	. . . . 5
17	15	nnap0d 9036	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8817	. . . 4
19	15	nnred 9003	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11139	. . . . 5
21		prmz 12279	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10702	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11979	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4061	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11979	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11995	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10777	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11141	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11348	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11141	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11348	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8050	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11359	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4061	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11348	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1015	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10702	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9449	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10702	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9449	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8177	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4059	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8177	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11129	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4061	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9152	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12316	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12005	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12316	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1249	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9035	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11955	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1249	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2273	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11140	. . . . 5
123		dvdsval2 11955	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1249	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2273	. . . 4
127		elgz 12540	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1183	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11360	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9305	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11332	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5938	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2229	. . . . 5
135	134	oveq1d 5937	. . . 4
136	12	abscld 11346	. . . . . 6
137	136	recnd 8055	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10778	. . . 4
139	71	oveq1d 5937	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10786	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9004	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9036	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8823	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2229	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2234	. . 3
146		fveq2 5558	. . . . 5
147	146	oveq1d 5937	. . . 4
148	147	rspceeqv 2886	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15355	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

wrex 2476 class class class wbr 4033

cmpt 4094

crn 4664

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cc0 7879

ci 7881

caddc 7882

cmul 7884

cdiv 8699

cn 8990

c2 9041

cz 9326

cexp 10630

cre 11005

cim 11006

cabs 11162

cdvds 11952

cprime 12275

cgz 12538

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-er 6592 df-en 6800 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276 df-gz 12539

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15359

W3C validator