2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15845

Description: Lemma for 2sqlem5 15847. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12951	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12951	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12950	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12944	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12681	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9156	. . . . 5
17	15	nnap0d 9188	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8969	. . . 4
19	15	nnred 9155	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11534	. . . . 5
21		prmz 12682	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12374	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10931	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12374	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12390	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12944	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12944	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10946	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11536	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11537	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11743	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11536	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11537	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11743	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11754	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11743	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12943	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1039	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9602	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1040	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9602	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8329	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4114	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8329	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8200	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11524	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9304	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12719	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12400	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1277	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12719	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1273	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9187	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12350	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1273	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2308	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11535	. . . . 5
123		dvdsval2 12350	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1273	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2308	. . . 4
127		elgz 12943	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1207	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11755	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9454	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9457	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11727	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6033	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2264	. . . . 5
135	134	oveq1d 6032	. . . 4
136	12	abscld 11741	. . . . . 6
137	136	recnd 8207	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10947	. . . 4
139	71	oveq1d 6032	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10955	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9156	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9188	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8975	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2264	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2269	. . 3
146		fveq2 5639	. . . . 5
147	146	oveq1d 6032	. . . 4
148	147	rspceeqv 2928	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15842	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

wrex 2511 class class class wbr 4088

cmpt 4150

crn 4726

cfv 5326 (class class class)co 6017

cc 8029

cc0 8031

ci 8033

caddc 8034

cmul 8036

cdiv 8851

cn 9142

c2 9193

cz 9478

cexp 10799

cre 11400

cim 11401

cabs 11557

cdvds 12347

cprime 12678

cgz 12941

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-1o 6581 df-2o 6582 df-er 6701 df-en 6909 df-sup 7182 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-fz 10243 df-fzo 10377 df-fl 10529 df-mod 10584 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559 df-dvds 12348 df-gcd 12524 df-prm 12679 df-gz 12942

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15846

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