2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 13747

Description: Lemma for 2sqlem5 13749. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12331	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12331	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12330	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . 6
11		gzcn 12324	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12064	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 8892	. . . . 5
17	15	nnap0d 8924	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8707	. . . 4
19	15	nnred 8891	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 10938	. . . . 5
21		prmz 12065	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11776	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10606	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4017	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11776	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11792	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11145	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11145	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10621	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 10940	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 10941	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11147	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 10940	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 10941	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11147	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11158	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4017	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11147	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1008	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1009	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8070	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4015	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8070	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 10928	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4017	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9039	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12102	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 166	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 11802	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1237	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 166	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12102	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1233	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 146	. . . . . 6
117	15	nnne0d 8923	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11752	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1233	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 146	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2247	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 10939	. . . . 5
123		dvdsval2 11752	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1233	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 146	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2247	. . . 4
127		elgz 12323	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1176	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11159	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9188	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9191	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11131	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5869	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2203	. . . . 5
135	134	oveq1d 5868	. . . 4
136	12	abscld 11145	. . . . . 6
137	136	recnd 7948	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10622	. . . 4
139	71	oveq1d 5868	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10630	. . . . . . 7
141	140	nncnd 8892	. . . . . 6
142	140	nnap0d 8924	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8713	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2203	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2208	. . 3
146		fveq2 5496	. . . . 5
147	146	oveq1d 5868	. . . 4
148	147	rspceeqv 2852	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 409	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 13744	. 2
152	149, 151	sylibr 133	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 104

wceq 1348

wcel 2141

wne 2340

wrex 2449 class class class wbr 3989

cmpt 4050

crn 4612

cfv 5198 (class class class)co 5853

cc 7772

cc0 7774

ci 7776

caddc 7777

cmul 7779

cdiv 8589

cn 8878

c2 8929

cz 9212

cexp 10475

cre 10804

cim 10805

cabs 10961

cdvds 11749

cprime 12061

cgz 12321

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-1o 6395 df-2o 6396 df-er 6513 df-en 6719 df-sup 6961 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-dvds 11750 df-gcd 11898 df-prm 12062 df-gz 12322

This theorem is referenced by: 2sqlem4 13748

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