2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > 2sqlem3		Unicode version

Theorem 2sqlem3 16116

Description: Lemma for 2sqlem5 16118. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 13102	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 13102	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 13101	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 13095	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12832	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9268	. . . . 5
17	15	nnap0d 9300	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 9081	. . . 4
19	15	nnred 9267	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11684	. . . . 5
21		prmz 12833	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10996	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12525	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 11057	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4142	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12525	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12541	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 13095	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11891	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 13095	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11891	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 11072	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11686	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11687	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11893	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11686	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11687	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11893	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11904	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4142	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11893	. . . . . . . . . 10
74		elgz 13094	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1040	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10996	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9719	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1041	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10996	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9719	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8440	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4140	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8440	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11674	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4142	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9416	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12870	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12551	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1278	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12870	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1274	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9299	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12501	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1274	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2311	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11685	. . . . 5
123		dvdsval2 12501	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1274	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2311	. . . 4
127		elgz 13094	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1208	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11905	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9570	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9573	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11877	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6074	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2267	. . . . 5
135	134	oveq1d 6073	. . . 4
136	12	abscld 11891	. . . . . 6
137	136	recnd 8318	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 11073	. . . 4
139	71	oveq1d 6073	. . . . 5
140	15	nnsqcld 11081	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9268	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9300	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 9087	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2267	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2272	. . 3
146		fveq2 5675	. . . . 5
147	146	oveq1d 6073	. . . 4
148	147	rspceeqv 2942	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 16113	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1398

wcel 2205

wne 2414

wrex 2523 class class class wbr 4114

cmpt 4176

crn 4755

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cc0 8143

ci 8145

caddc 8146

cmul 8148

cdiv 8963

cn 9254

c2 9305

cz 9594

cexp 10924

cre 11550

cim 11551

cabs 11707

cdvds 12498

cprime 12829

cgz 13092

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-1o 6660 df-2o 6661 df-er 6780 df-en 6989 df-sup 7288 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-fz 10362 df-fzo 10499 df-fl 10654 df-mod 10709 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709 df-dvds 12499 df-gcd 12675 df-prm 12830 df-gz 13093

This theorem is referenced by: 2sqlem4 16117

W3C validator