2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15466

Description: Lemma for 2sqlem5 15468. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12575	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12575	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12574	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12568	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12305	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9023	. . . . 5
17	15	nnap0d 9055	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8836	. . . 4
19	15	nnred 9022	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11158	. . . . 5
21		prmz 12306	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10721	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9466	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9473	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11998	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10781	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4062	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11998	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12014	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12568	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11365	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12568	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11365	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8074	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10796	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11160	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11161	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11367	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11160	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11161	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11367	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8069	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11378	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4062	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11367	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12567	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1015	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10721	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9468	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10721	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9468	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8196	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4060	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8066	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8066	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8196	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8067	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11148	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4062	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9171	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12343	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12024	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12343	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1249	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9054	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11974	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1249	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2273	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11159	. . . . 5
123		dvdsval2 11974	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1249	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2273	. . . 4
127		elgz 12567	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1183	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11379	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9321	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9324	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11351	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5941	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2229	. . . . 5
135	134	oveq1d 5940	. . . 4
136	12	abscld 11365	. . . . . 6
137	136	recnd 8074	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10797	. . . 4
139	71	oveq1d 5940	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10805	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9023	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9055	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8842	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2229	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2234	. . 3
146		fveq2 5561	. . . . 5
147	146	oveq1d 5940	. . . 4
148	147	rspceeqv 2886	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15463	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

wrex 2476 class class class wbr 4034

cmpt 4095

crn 4665

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7896

cc0 7898

ci 7900

caddc 7901

cmul 7903

cdiv 8718

cn 9009

c2 9060

cz 9345

cexp 10649

cre 11024

cim 11025

cabs 11181

cdvds 11971

cprime 12302

cgz 12565

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7989 ax-resscn 7990 ax-1cn 7991 ax-1re 7992 ax-icn 7993 ax-addcl 7994 ax-addrcl 7995 ax-mulcl 7996 ax-mulrcl 7997 ax-addcom 7998 ax-mulcom 7999 ax-addass 8000 ax-mulass 8001 ax-distr 8002 ax-i2m1 8003 ax-0lt1 8004 ax-1rid 8005 ax-0id 8006 ax-rnegex 8007 ax-precex 8008 ax-cnre 8009 ax-pre-ltirr 8010 ax-pre-ltwlin 8011 ax-pre-lttrn 8012 ax-pre-apti 8013 ax-pre-ltadd 8014 ax-pre-mulgt0 8015 ax-pre-mulext 8016 ax-arch 8017 ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-er 6601 df-en 6809 df-sup 7059 df-pnf 8082 df-mnf 8083 df-xr 8084 df-ltxr 8085 df-le 8086 df-sub 8218 df-neg 8219 df-reap 8621 df-ap 8628 df-div 8719 df-inn 9010 df-2 9068 df-3 9069 df-4 9070 df-n0 9269 df-z 9346 df-uz 9621 df-q 9713 df-rp 9748 df-fz 10103 df-fzo 10237 df-fl 10379 df-mod 10434 df-seqfrec 10559 df-exp 10650 df-cj 11026 df-re 11027 df-im 11028 df-rsqrt 11182 df-abs 11183 df-dvds 11972 df-gcd 12148 df-prm 12303 df-gz 12566

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15467

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