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Theorem 2sqlem3 14120
Description: Lemma for 2sqlem5 14122. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem5.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem5.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2sqlem4.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem4.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2sqlem4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
2sqlem4.7  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem4.8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
2sqlem4.9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem3  |-  ( ph  ->  N  e.  S )

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gzreim 12360 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
41, 2, 3syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
7 gzreim 12360 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
9 gzmulcl 12359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  /\  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
104, 8, 9syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
11 gzcn 12353 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
14 prmnn 12093 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
1513, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1615nncnd 8922 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1715nnap0d 8954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P #  0 )
1812, 16, 17divclapd 8736 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC )
1915nnred 8921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2019, 12, 17redivapd 10967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
21 prmz 12094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2213, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
23 zsqcl 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
25 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2625nnzd 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2726, 24zmulcld 9370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )
28 dvdsmul2 11805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2922, 22, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
3016sqvald 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
3129, 30breqtrrd 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P ^ 2 ) )
32 dvdsmul2 11805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3326, 24, 32syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3422, 24, 27, 31, 33dvdstrd 11821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
35 gzcn 12353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
364, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
3736abscld 11174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  RR )
3837recnd 7976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  CC )
39 gzcn 12353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
408, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
4140abscld 11174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  RR )
4241recnd 7976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
4338, 42sqmuld 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
441zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
452zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4644, 45crred 10969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
4746oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
4844, 45crimd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
4948oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
5047, 49oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
5136absvalsq2d 11176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
52 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
5350, 51, 523eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  P
) )
545zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
556zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5654, 55crred 10969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
5756oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
5854, 55crimd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
5958oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
6057, 59oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
6140absvalsq2d 11176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
62 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
6360, 61, 623eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  P )
6453, 63oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N  x.  P )  x.  P ) )
6525nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6665, 16, 16mulassd 7971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  P )  x.  P
)  =  ( N  x.  ( P  x.  P ) ) )
6743, 64, 663eqtrd 2214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P  x.  P )
) )
6836, 40absmuld 11187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
6968oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )
7030oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( P  x.  P
) ) )
7167, 69, 703eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )
7234, 71breqtrrd 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
7312absvalsq2d 11176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
74 elgz 12352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ ) )
7574simp2bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
7610, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
77 zsqcl 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7978zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8074simp3bi 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
8110, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
82 zsqcl 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8483zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8579, 84addcomd 8098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
8673, 85eqtrd 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
8772, 86breqtrd 4026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
88 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
895zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
902zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9189, 90mulcld 7968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
921zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
936zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9492, 93mulcld 7968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
9591, 94addcomd 8098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) )
9689, 90mulcomd 7969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
9796oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
9895, 97eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
9988, 98breqtrd 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10036, 40immuld 10957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
10146, 58oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( A  x.  D ) )
10248, 56oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( B  x.  C ) )
103101, 102oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C
) ) )
104100, 103eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10599, 104breqtrrd 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
106 2nn 9069 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
107106a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
108 prmdvdsexp 12131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
10913, 81, 107, 108syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
110105, 109mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
111 dvdsadd2b 11831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11222, 78, 83, 110, 111syl112anc 1242 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11387, 112mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
114 prmdvdsexp 12131 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11513, 76, 107, 114syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
116113, 115mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
11715nnne0d 8953 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
118 dvdsval2 11781 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
11922, 117, 76, 118syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
120116, 119mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
12120, 120eqeltrd 2254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
12219, 12, 17imdivapd 10968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
123 dvdsval2 11781 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12422, 117, 81, 123syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
125105, 124mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
126122, 125eqeltrd 2254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
127 elgz 12352 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ  /\  (
Im `  ( (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ ) )
12818, 121, 126, 127syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i] )
12912, 16, 17absdivapd 11188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) ) )
13015nnnn0d 9218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
131130nn0ge0d 9221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
13219, 131absidd 11160 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  P
)  =  P )
133132oveq2d 5885 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) )  =  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
134129, 133eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
135134oveq1d 5884 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 ) )
13612abscld 11174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  RR )
137136recnd 7976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  CC )
138137, 16, 17sqdivapd 10652 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) ) )
13971oveq1d 5884 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) ) )
14015nnsqcld 10660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  NN )
141140nncnd 8922 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  CC )
142140nnap0d 8954 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 ) #  0 )
14365, 141, 142divcanap4d 8742 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) )  =  N )
144139, 143eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  N )
145135, 138, 1443eqtrrd 2215 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )
146 fveq2 5511 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) )
147146oveq1d 5884 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
) ) ^ 2 ) )
148147rspceeqv 2859 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i]  /\  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
149128, 145, 148syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
150 2sq.1 . . 3  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
1511502sqlem1 14117 . 2  |-  ( N  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 ) )
152149, 151sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  N  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   ran crn 4624   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   _ici 7804    + caddc 7805    x. cmul 7807    / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   ZZcz 9242   ^cexp 10505   Recre 10833   Imcim 10834   abscabs 10990    || cdvds 11778   Primecprime 12090   ZZ[_i]cgz 12350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-gz 12351
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