2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15204

Description: Lemma for 2sqlem5 15206. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12517	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12517	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12516	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12510	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12248	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 8996	. . . . 5
17	15	nnap0d 9028	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8809	. . . 4
19	15	nnred 8995	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11118	. . . . 5
21		prmz 12249	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11957	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10741	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11957	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11973	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12510	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11325	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12510	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11325	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10756	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11120	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11121	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11327	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11120	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11121	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11327	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8043	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2230	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11338	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4057	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11327	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12509	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1015	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8170	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4055	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8040	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8040	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8170	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8041	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11108	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9143	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12286	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 11983	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12286	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1249	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9027	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11933	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1249	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2270	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11119	. . . . 5
123		dvdsval2 11933	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1249	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2270	. . . 4
127		elgz 12509	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1183	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11339	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9293	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9296	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11311	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5934	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2226	. . . . 5
135	134	oveq1d 5933	. . . 4
136	12	abscld 11325	. . . . . 6
137	136	recnd 8048	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10757	. . . 4
139	71	oveq1d 5933	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10765	. . . . . . 7
141	140	nncnd 8996	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9028	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8815	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2226	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2231	. . 3
146		fveq2 5554	. . . . 5
147	146	oveq1d 5933	. . . 4
148	147	rspceeqv 2882	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15201	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1364

wcel 2164

wne 2364

wrex 2473 class class class wbr 4029

cmpt 4090

crn 4660

cfv 5254 (class class class)co 5918

cc 7870

cc0 7872

ci 7874

caddc 7875

cmul 7877

cdiv 8691

cn 8982

c2 9033

cz 9317

cexp 10609

cre 10984

cim 10985

cabs 11141

cdvds 11930

cprime 12245

cgz 12507

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-1o 6469 df-2o 6470 df-er 6587 df-en 6795 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-prm 12246 df-gz 12508

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15205

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