2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15836

Description: Lemma for 2sqlem5 15838. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12942	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12942	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12941	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12935	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12672	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9147	. . . . 5
17	15	nnap0d 9179	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8960	. . . 4
19	15	nnred 9146	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11525	. . . . 5
21		prmz 12673	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10862	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9598	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12365	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10922	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12365	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12381	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12935	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11732	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12935	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11732	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10937	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11527	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11528	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11734	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11527	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11528	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11734	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9147	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8193	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11745	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4114	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11734	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12934	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1037	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10862	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9593	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1038	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10862	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9593	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8320	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4112	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8190	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8190	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8320	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8191	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11515	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9295	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12710	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12391	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1275	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12710	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1271	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9178	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12341	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1271	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2306	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11526	. . . . 5
123		dvdsval2 12341	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1271	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2306	. . . 4
127		elgz 12934	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1205	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11746	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9445	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9448	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11718	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6029	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2262	. . . . 5
135	134	oveq1d 6028	. . . 4
136	12	abscld 11732	. . . . . 6
137	136	recnd 8198	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10938	. . . 4
139	71	oveq1d 6028	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10946	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9147	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9179	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8966	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2262	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2267	. . 3
146		fveq2 5635	. . . . 5
147	146	oveq1d 6028	. . . 4
148	147	rspceeqv 2926	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15833	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wrex 2509 class class class wbr 4086

cmpt 4148

crn 4724

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cc0 8022

ci 8024

caddc 8025

cmul 8027

cdiv 8842

cn 9133

c2 9184

cz 9469

cexp 10790

cre 11391

cim 11392

cabs 11548

cdvds 12338

cprime 12669

cgz 12932

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-1o 6577 df-2o 6578 df-er 6697 df-en 6905 df-sup 7174 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-fl 10520 df-mod 10575 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-dvds 12339 df-gcd 12515 df-prm 12670 df-gz 12933

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15837

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