2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15865

Description: Lemma for 2sqlem5 15867. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12970	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12970	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12969	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12963	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12700	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9157	. . . . 5
17	15	nnap0d 9189	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8970	. . . 4
19	15	nnred 9156	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11552	. . . . 5
21		prmz 12701	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10873	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12393	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10933	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12393	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12409	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12963	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11759	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8208	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12963	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11759	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8208	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10948	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11554	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11555	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11761	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11554	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11555	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11761	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8203	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11772	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11761	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12962	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1039	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10873	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9603	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1040	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10873	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9603	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8330	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4114	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8200	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8200	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8330	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11542	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9305	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12738	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12419	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1277	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12738	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1273	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9188	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12369	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1273	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2308	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11553	. . . . 5
123		dvdsval2 12369	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1273	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2308	. . . 4
127		elgz 12962	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1207	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11773	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9455	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9458	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11745	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6034	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2264	. . . . 5
135	134	oveq1d 6033	. . . 4
136	12	abscld 11759	. . . . . 6
137	136	recnd 8208	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10949	. . . 4
139	71	oveq1d 6033	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10957	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9157	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9189	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8976	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2264	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2269	. . 3
146		fveq2 5639	. . . . 5
147	146	oveq1d 6033	. . . 4
148	147	rspceeqv 2928	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15862	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

wrex 2511 class class class wbr 4088

cmpt 4150

crn 4726

cfv 5326 (class class class)co 6018

cc 8030

cc0 8032

ci 8034

caddc 8035

cmul 8037

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

cz 9479

cexp 10801

cre 11418

cim 11419

cabs 11575

cdvds 12366

cprime 12697

cgz 12960

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-1o 6582 df-2o 6583 df-er 6702 df-en 6910 df-sup 7183 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-cj 11420 df-re 11421 df-im 11422 df-rsqrt 11576 df-abs 11577 df-dvds 12367 df-gcd 12543 df-prm 12698 df-gz 12961

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15866

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