2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 14120

Description: Lemma for 2sqlem5 14122. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12360	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12360	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12359	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12353	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12093	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 8922	. . . . 5
17	15	nnap0d 8954	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8736	. . . 4
19	15	nnred 8921	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 10967	. . . . 5
21		prmz 12094	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10576	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11805	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10636	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4028	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11805	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11821	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12353	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11174	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12353	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11174	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10651	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 10969	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11176	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 10969	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11176	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 8922	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 7971	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11187	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4028	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11176	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12352	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1013	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10576	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1014	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10576	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8098	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4026	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8098	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4026	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 10957	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4028	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9069	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12131	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 11831	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1242	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12131	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1238	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 8953	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11781	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1238	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2254	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 10968	. . . . 5
123		dvdsval2 11781	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1238	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2254	. . . 4
127		elgz 12352	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1181	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11188	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9218	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9221	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11160	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5885	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2210	. . . . 5
135	134	oveq1d 5884	. . . 4
136	12	abscld 11174	. . . . . 6
137	136	recnd 7976	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10652	. . . 4
139	71	oveq1d 5884	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10660	. . . . . . 7
141	140	nncnd 8922	. . . . . 6
142	140	nnap0d 8954	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8742	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2210	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2215	. . 3
146		fveq2 5511	. . . . 5
147	146	oveq1d 5884	. . . 4
148	147	rspceeqv 2859	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 14117	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wrex 2456 class class class wbr 4000

cmpt 4061

crn 4624

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cc0 7802

ci 7804

caddc 7805

cmul 7807

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

cz 9242

cexp 10505

cre 10833

cim 10834

cabs 10990

cdvds 11778

cprime 12090

cgz 12350

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-1o 6411 df-2o 6412 df-er 6529 df-en 6735 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-prm 12091 df-gz 12351

This theorem is referenced by: 2sqlem4 14121

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