2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15796

Description: Lemma for 2sqlem5 15798. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12902	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12902	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12901	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12895	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12632	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9124	. . . . 5
17	15	nnap0d 9156	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8937	. . . 4
19	15	nnred 9123	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11485	. . . . 5
21		prmz 12633	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10832	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9575	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12325	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10892	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12325	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12341	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12895	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11692	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12895	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11692	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10907	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11487	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11488	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11694	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11487	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11488	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11694	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8170	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11705	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4111	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11694	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12894	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1037	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10832	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9570	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1038	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10832	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9570	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8297	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4109	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8297	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8168	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11475	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9272	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12670	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12351	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1275	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12670	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1271	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9155	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12301	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1271	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2306	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11486	. . . . 5
123		dvdsval2 12301	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1271	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2306	. . . 4
127		elgz 12894	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1205	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11706	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9422	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9425	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11678	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 6017	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2262	. . . . 5
135	134	oveq1d 6016	. . . 4
136	12	abscld 11692	. . . . . 6
137	136	recnd 8175	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10908	. . . 4
139	71	oveq1d 6016	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10916	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9124	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9156	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8943	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2262	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2267	. . 3
146		fveq2 5627	. . . . 5
147	146	oveq1d 6016	. . . 4
148	147	rspceeqv 2925	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15793	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wrex 2509 class class class wbr 4083

cmpt 4145

crn 4720

cfv 5318 (class class class)co 6001

cc 7997

cc0 7999

ci 8001

caddc 8002

cmul 8004

cdiv 8819

cn 9110

c2 9161

cz 9446

cexp 10760

cre 11351

cim 11352

cabs 11508

cdvds 12298

cprime 12629

cgz 12892

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117 ax-arch 8118 ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-1o 6562 df-2o 6563 df-er 6680 df-en 6888 df-sup 7151 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-q 9815 df-rp 9850 df-fz 10205 df-fzo 10339 df-fl 10490 df-mod 10545 df-seqfrec 10670 df-exp 10761 df-cj 11353 df-re 11354 df-im 11355 df-rsqrt 11509 df-abs 11510 df-dvds 12299 df-gcd 12475 df-prm 12630 df-gz 12893

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15797

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