2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 14024

Description: Lemma for 2sqlem5 14026. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12344	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12344	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12343	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12337	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12077	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 8906	. . . . 5
17	15	nnap0d 8938	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8720	. . . 4
19	15	nnred 8905	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 10951	. . . . 5
21		prmz 12078	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10560	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9347	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9354	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 11789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10620	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4026	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 11789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11805	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12337	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11158	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 7960	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12337	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11158	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 7960	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10635	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 10953	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11160	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2218	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 10953	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11160	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2218	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5883	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 8906	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 7955	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2212	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11171	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5881	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2218	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4026	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11160	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12336	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1013	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10560	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9349	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1014	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10560	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9349	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8082	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2208	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4024	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9349	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9349	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 7952	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9349	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9349	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 7952	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8082	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 7953	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4024	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 10941	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5883	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5883	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5883	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4026	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9053	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 11815	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1242	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1238	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 8937	. . . . . . 7
118		dvdsval2 11765	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1238	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2252	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 10952	. . . . 5
123		dvdsval2 11765	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1238	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2252	. . . 4
127		elgz 12336	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1181	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11172	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9202	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9205	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11144	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5881	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2208	. . . . 5
135	134	oveq1d 5880	. . . 4
136	12	abscld 11158	. . . . . 6
137	136	recnd 7960	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10636	. . . 4
139	71	oveq1d 5880	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10644	. . . . . . 7
141	140	nncnd 8906	. . . . . 6
142	140	nnap0d 8938	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8726	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2208	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2213	. . 3
146		fveq2 5507	. . . . 5
147	146	oveq1d 5880	. . . 4
148	147	rspceeqv 2857	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 14021	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1353

wcel 2146

wne 2345

wrex 2454 class class class wbr 3998

cmpt 4059

crn 4621

cfv 5208 (class class class)co 5865

cc 7784

cc0 7786

ci 7788

caddc 7789

cmul 7791

cdiv 8602

cn 8892

c2 8943

cz 9226

cexp 10489

cre 10817

cim 10818

cabs 10974

cdvds 11762

cprime 12074

cgz 12334

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1445 ax-7 1446 ax-gen 1447 ax-ie1 1491 ax-ie2 1492 ax-8 1502 ax-10 1503 ax-11 1504 ax-i12 1505 ax-bndl 1507 ax-4 1508 ax-17 1524 ax-i9 1528 ax-ial 1532 ax-i5r 1533 ax-13 2148 ax-14 2149 ax-ext 2157 ax-coll 4113 ax-sep 4116 ax-nul 4124 ax-pow 4169 ax-pr 4203 ax-un 4427 ax-setind 4530 ax-iinf 4581 ax-cnex 7877 ax-resscn 7878 ax-1cn 7879 ax-1re 7880 ax-icn 7881 ax-addcl 7882 ax-addrcl 7883 ax-mulcl 7884 ax-mulrcl 7885 ax-addcom 7886 ax-mulcom 7887 ax-addass 7888 ax-mulass 7889 ax-distr 7890 ax-i2m1 7891 ax-0lt1 7892 ax-1rid 7893 ax-0id 7894 ax-rnegex 7895 ax-precex 7896 ax-cnre 7897 ax-pre-ltirr 7898 ax-pre-ltwlin 7899 ax-pre-lttrn 7900 ax-pre-apti 7901 ax-pre-ltadd 7902 ax-pre-mulgt0 7903 ax-pre-mulext 7904 ax-arch 7905 ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1459 df-sb 1761 df-eu 2027 df-mo 2028 df-clab 2162 df-cleq 2168 df-clel 2171 df-nfc 2306 df-ne 2346 df-nel 2441 df-ral 2458 df-rex 2459 df-reu 2460 df-rmo 2461 df-rab 2462 df-v 2737 df-sbc 2961 df-csb 3056 df-dif 3129 df-un 3131 df-in 3133 df-ss 3140 df-nul 3421 df-if 3533 df-pw 3574 df-sn 3595 df-pr 3596 df-op 3598 df-uni 3806 df-int 3841 df-iun 3884 df-br 3999 df-opab 4060 df-mpt 4061 df-tr 4097 df-id 4287 df-po 4290 df-iso 4291 df-iord 4360 df-on 4362 df-ilim 4363 df-suc 4365 df-iom 4584 df-xp 4626 df-rel 4627 df-cnv 4628 df-co 4629 df-dm 4630 df-rn 4631 df-res 4632 df-ima 4633 df-iota 5170 df-fun 5210 df-fn 5211 df-f 5212 df-f1 5213 df-fo 5214 df-f1o 5215 df-fv 5216 df-riota 5821 df-ov 5868 df-oprab 5869 df-mpo 5870 df-1st 6131 df-2nd 6132 df-recs 6296 df-frec 6382 df-1o 6407 df-2o 6408 df-er 6525 df-en 6731 df-sup 6973 df-pnf 7968 df-mnf 7969 df-xr 7970 df-ltxr 7971 df-le 7972 df-sub 8104 df-neg 8105 df-reap 8506 df-ap 8513 df-div 8603 df-inn 8893 df-2 8951 df-3 8952 df-4 8953 df-n0 9150 df-z 9227 df-uz 9502 df-q 9593 df-rp 9625 df-fz 9980 df-fzo 10113 df-fl 10240 df-mod 10293 df-seqfrec 10416 df-exp 10490 df-cj 10819 df-re 10820 df-im 10821 df-rsqrt 10975 df-abs 10976 df-dvds 11763 df-gcd 11911 df-prm 12075 df-gz 12335

This theorem is referenced by: 2sqlem4 14025

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