2sqlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem3 15709

Description: Lemma for 2sqlem5 15711. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem4.3
2sqlem4.4
2sqlem4.5
2sqlem4.6
2sqlem4.7
2sqlem4.8
2sqlem4.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8
3		gzreim 12817	. . . . . . . 8 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8
7		gzreim 12817	. . . . . . . 8 $/\$
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7
9		gzmulcl 12816	. . . . . . 7 $/\$
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6
11		gzcn 12810	. . . . . 6
12	10, 11	syl 14	. . . . 5
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7
14		prmnn 12547	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6
16	15	nncnd 9085	. . . . 5
17	15	nnap0d 9117	. . . . 5 #
18	12, 16, 17	divclapd 8898	. . . 4
19	15	nnred 9084	. . . . . 6
20	19, 12, 17	redivapd 11400	. . . . 5
21		prmz 12548	. . . . . . . . . . . 12
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11
23		zsqcl 10792	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . 12
27	26, 24	zmulcld 9536	. . . . . . . . . . 11
28		dvdsmul2 12240	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12
30	16	sqvald 10852	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	breqtrrd 4087	. . . . . . . . . . 11
32		dvdsmul2 12240	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12256	. . . . . . . . . 10
35		gzcn 12810	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	abscld 11607	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . 13
39		gzcn 12810	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	abscld 11607	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . 13
43	38, 42	sqmuld 10867	. . . . . . . . . . . 12
44	1	zred 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	2	zred 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	44, 45	crred 11402	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	44, 45	crimd 11403	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	47, 49	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . . 14
51	36	absvalsq2d 11609	. . . . . . . . . . . . . 14
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2250	. . . . . . . . . . . . 13
54	5	zred 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	6	zred 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	54, 55	crred 11402	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	54, 55	crimd 11403	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	57, 59	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . . 14
61	40	absvalsq2d 11609	. . . . . . . . . . . . . 14
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2250	. . . . . . . . . . . . 13
64	53, 63	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . 12
65	25	nncnd 9085	. . . . . . . . . . . . 13
66	65, 16, 16	mulassd 8131	. . . . . . . . . . . 12
67	43, 64, 66	3eqtrd 2244	. . . . . . . . . . 11
68	36, 40	absmuld 11620	. . . . . . . . . . . 12
69	68	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . 11
70	30	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . 11
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2250	. . . . . . . . . 10
72	34, 71	breqtrrd 4087	. . . . . . . . 9
73	12	absvalsq2d 11609	. . . . . . . . . 10
74		elgz 12809	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74	simp2bi 1016	. . . . . . . . . . . . . 14
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
77		zsqcl 10792	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
79	78	zcnd 9531	. . . . . . . . . . 11
80	74	simp3bi 1017	. . . . . . . . . . . . . 14
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
82		zsqcl 10792	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
84	83	zcnd 9531	. . . . . . . . . . 11
85	79, 84	addcomd 8258	. . . . . . . . . 10
86	73, 85	eqtrd 2240	. . . . . . . . 9
87	72, 86	breqtrd 4085	. . . . . . . 8
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12
89	5	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	2	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	mulcld 8128	. . . . . . . . . . . . . 14
92	1	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	6	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	92, 93	mulcld 8128	. . . . . . . . . . . . . 14
95	91, 94	addcomd 8258	. . . . . . . . . . . . 13
96	89, 90	mulcomd 8129	. . . . . . . . . . . . . 14
97	96	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . 13
98	95, 97	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . 12
99	88, 98	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . 11
100	36, 40	immuld 11390	. . . . . . . . . . . 12
101	46, 58	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . 13
102	48, 56	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . 13
103	101, 102	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . 12
104	100, 103	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	breqtrrd 4087	. . . . . . . . . 10
106		2nn 9233	. . . . . . . . . . . 12
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
108		prmdvdsexp 12585	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9
111		dvdsadd2b 12266	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1254	. . . . . . . 8
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7
114		prmdvdsexp 12585	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1250	. . . . . . 7
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6
117	15	nnne0d 9116	. . . . . . 7
118		dvdsval2 12216	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1250	. . . . . 6
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5
121	20, 120	eqeltrd 2284	. . . 4
122	19, 12, 17	imdivapd 11401	. . . . 5
123		dvdsval2 12216	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1250	. . . . . 6
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5
126	122, 125	eqeltrd 2284	. . . 4
127		elgz 12809	. . . 4 $/\$ $/\$
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1184	. . 3
129	12, 16, 17	absdivapd 11621	. . . . . 6
130	15	nnnn0d 9383	. . . . . . . . 9
131	130	nn0ge0d 9386	. . . . . . . 8
132	19, 131	absidd 11593	. . . . . . 7
133	132	oveq2d 5983	. . . . . 6
134	129, 133	eqtrd 2240	. . . . 5
135	134	oveq1d 5982	. . . 4
136	12	abscld 11607	. . . . . 6
137	136	recnd 8136	. . . . 5
138	137, 16, 17	sqdivapd 10868	. . . 4
139	71	oveq1d 5982	. . . . 5
140	15	nnsqcld 10876	. . . . . . 7
141	140	nncnd 9085	. . . . . 6
142	140	nnap0d 9117	. . . . . 6 #
143	65, 141, 142	divcanap4d 8904	. . . . 5
144	139, 143	eqtrd 2240	. . . 4
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2245	. . 3
146		fveq2 5599	. . . . 5
147	146	oveq1d 5982	. . . 4
148	147	rspceeqv 2902	. . 3 $/\$
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2
150		2sq.1	. . 3
151	150	2sqlem1 15706	. 2
152	149, 151	sylibr 134	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4

wb 105

wceq 1373

wcel 2178

wne 2378

wrex 2487 class class class wbr 4059

cmpt 4121

crn 4694

cfv 5290 (class class class)co 5967

cc 7958

cc0 7960

ci 7962

caddc 7963

cmul 7965

cdiv 8780

cn 9071

c2 9122

cz 9407

cexp 10720

cre 11266

cim 11267

cabs 11423

cdvds 12213

cprime 12544

cgz 12807

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-frec 6500 df-1o 6525 df-2o 6526 df-er 6643 df-en 6851 df-sup 7112 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-fz 10166 df-fzo 10300 df-fl 10450 df-mod 10505 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425 df-dvds 12214 df-gcd 12390 df-prm 12545 df-gz 12808

This theorem is referenced by: 2sqlem4 15710

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