Theorem zgz 13133

Description: An integer is a gaussian integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zgz	|- ( A e. ZZ -> A e. ZZ[_i] )

Proof of Theorem zgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9631	. 2 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
2		zre 9630	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3	2	rered 11716	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( Re ` A ) = A )
4		id 19	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
5	3, 4	eqeltrd 2315	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( Re ` A ) e. ZZ )
6	2	reim0d 11717	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( Im ` A ) = 0 )
7		0z 9637	. . 3 |- 0 e. ZZ
8	6, 7	eqeltrdi 2329	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( Im ` A ) e. ZZ )
9		elgz 13131	. 2 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
10	1, 5, 8, 9	syl3anbrc 1212	1 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ[_i] )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5375   CCcc 8170   0cc0 8172   ZZcz 9626   Recre 11586   Imcim 11587   ZZ[_i]cgz 13129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-2 9345  df-z 9627  df-cj 11588  df-re 11589  df-im 11590  df-gz 13130

This theorem is referenced by:  gzreim  13139  mul4sqlem  13153  4sqlem13m  13163  4sqlem19  13169  gzsubrg  14894  2sqlem9  16160  2sqlem10  16161