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Theorem gzmulcl 12330
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 12324 . . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2 gzcn 12324 . . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3 mulcl 7901 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
41, 2, 3syl2an 287 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. CC )
5 remul 10836 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
61, 2, 5syl2an 287 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
7 elgz 12323 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
87simp2bi 1008 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
9 elgz 12323 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
109simp2bi 1008 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
11 zmulcl 9265 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
128, 10, 11syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
137simp3bi 1009 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
149simp3bi 1009 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
15 zmulcl 9265 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1613, 14, 15syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1712, 16zsubcld 9339 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. ZZ )
186, 17eqeltrd 2247 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
19 immul 10843 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 287 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
21 zmulcl 9265 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
228, 14, 21syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
23 zmulcl 9265 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2413, 10, 23syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2522, 24zaddcld 9338 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. ZZ )
2620, 25eqeltrd 2247 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
27 elgz 12323 . 2 |- ( ( A x. B ) e. ZZ[_i] <-> ( ( A x. B ) e. CC /\ ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1176 1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   ZZcz 9212   Recre 10804   Imcim 10805   ZZ[_i]cgz 12321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-gz 12322
This theorem is referenced by:  gzreim  12331  mul4sqlem  12345  mul2sq  13746  2sqlem3  13747
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