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Theorem gzmulcl 12304
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 12298 . . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2 gzcn 12298 . . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3 mulcl 7876 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
41, 2, 3syl2an 287 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. CC )
5 remul 10810 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
61, 2, 5syl2an 287 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
7 elgz 12297 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
87simp2bi 1003 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
9 elgz 12297 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
109simp2bi 1003 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
11 zmulcl 9240 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
128, 10, 11syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
137simp3bi 1004 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
149simp3bi 1004 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
15 zmulcl 9240 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1613, 14, 15syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1712, 16zsubcld 9314 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. ZZ )
186, 17eqeltrd 2242 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
19 immul 10817 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 287 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
21 zmulcl 9240 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
228, 14, 21syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
23 zmulcl 9240 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2413, 10, 23syl2an 287 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2522, 24zaddcld 9313 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. ZZ )
2620, 25eqeltrd 2242 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
27 elgz 12297 . 2 |- ( ( A x. B ) e. ZZ[_i] <-> ( ( A x. B ) e. CC /\ ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1171 1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   + caddc 7752   x. cmul 7754   - cmin 8065   ZZcz 9187   Recre 10778   Imcim 10779   ZZ[_i]cgz 12295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-n0 9111  df-z 9188  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-gz 12296
This theorem is referenced by:  gzreim  12305  mul4sqlem  12319  mul2sq  13552  2sqlem3  13553
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