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Theorem gzmulcl 12317
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 12311 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
2 gzcn 12311 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  B  e.  CC )
3 mulcl 7888 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 287 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  CC )
5 remul 10823 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
61, 2, 5syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
7 elgz 12310 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
87simp2bi 1008 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
9 elgz 12310 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  <->  ( B  e.  CC  /\  ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )
109simp2bi 1008 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  B )  e.  ZZ )
11 zmulcl 9252 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Re `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  ZZ )
128, 10, 11syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
Re `  A )  x.  ( Re `  B
) )  e.  ZZ )
137simp3bi 1009 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
149simp3bi 1009 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  B )  e.  ZZ )
15 zmulcl 9252 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  ZZ )
1613, 14, 15syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
Im `  A )  x.  ( Im `  B
) )  e.  ZZ )
1712, 16zsubcld 9326 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  ZZ )
186, 17eqeltrd 2247 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Re `  ( A  x.  B
) )  e.  ZZ )
19 immul 10830 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
201, 2, 19syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
21 zmulcl 9252 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  ZZ )
228, 14, 21syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
Re `  A )  x.  ( Im `  B
) )  e.  ZZ )
23 zmulcl 9252 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Re `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  ZZ )
2413, 10, 23syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
Im `  A )  x.  ( Re `  B
) )  e.  ZZ )
2522, 24zaddcld 9325 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) )  e.  ZZ )
2620, 25eqeltrd 2247 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Im `  ( A  x.  B
) )  e.  ZZ )
27 elgz 12310 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( A  x.  B )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( A  x.  B ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( A  x.  B ) )  e.  ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1176 1  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  ZZ[_i] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759    + caddc 7764    x. cmul 7766    - cmin 8077   ZZcz 9199   Recre 10791   Imcim 10792   ZZ[_i]cgz 12308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-gz 12309
This theorem is referenced by:  gzreim  12318  mul4sqlem  12332  mul2sq  13667  2sqlem3  13668
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