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Theorem gzmulcl 13135
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 13129 . . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2 gzcn 13129 . . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3 mulcl 8296 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
41, 2, 3syl2an 289 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. CC )
5 remul 11615 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
61, 2, 5syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
7 elgz 13128 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
87simp2bi 1044 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
9 elgz 13128 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
109simp2bi 1044 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
11 zmulcl 9677 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
128, 10, 11syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
137simp3bi 1045 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
149simp3bi 1045 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
15 zmulcl 9677 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1613, 14, 15syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1712, 16zsubcld 9752 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. ZZ )
186, 17eqeltrd 2315 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
19 immul 11622 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
21 zmulcl 9677 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
228, 14, 21syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
23 zmulcl 9677 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2413, 10, 23syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2522, 24zaddcld 9751 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. ZZ )
2620, 25eqeltrd 2315 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
27 elgz 13128 . 2 |- ( ( A x. B ) e. ZZ[_i] <-> ( ( A x. B ) e. CC /\ ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1212 1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   ZZcz 9623   Recre 11583   Imcim 11584   ZZ[_i]cgz 13126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-gz 13127
This theorem is referenced by:  gzreim  13136  mul4sqlem  13150  gzsubrg  14891  mul2sq  16149  2sqlem3  16150
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