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Theorem gzmulcl 13157
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 13151 . . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2 gzcn 13151 . . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3 mulcl 8306 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
41, 2, 3syl2an 289 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. CC )
5 remul 11637 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
61, 2, 5syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
7 elgz 13150 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
87simp2bi 1044 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
9 elgz 13150 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
109simp2bi 1044 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
11 zmulcl 9698 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
128, 10, 11syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
137simp3bi 1045 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
149simp3bi 1045 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
15 zmulcl 9698 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1613, 14, 15syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1712, 16zsubcld 9773 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. ZZ )
186, 17eqeltrd 2315 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
19 immul 11644 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
21 zmulcl 9698 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
228, 14, 21syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. ZZ )
23 zmulcl 9698 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2413, 10, 23syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. ZZ )
2522, 24zaddcld 9772 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. ZZ )
2620, 25eqeltrd 2315 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ )
27 elgz 13150 . 2 |- ( ( A x. B ) e. ZZ[_i] <-> ( ( A x. B ) e. CC /\ ( Re ` ( A x. B ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( A x. B ) ) e. ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1212 1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A x. B ) e. ZZ[_i] )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   ZZcz 9644   Recre 11605   Imcim 11606   ZZ[_i]cgz 13148
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-gz 13149
This theorem is used by:  gzreim  13158  mul4sqlem  13172  gzsubrg  14919  mul2sq  16235  2sqlem3  16236
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