ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gzaddcl Unicode version
Theorem gzaddcl 12408
Description: The gaussian integers are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzaddcl |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + B ) e. ZZ[_i] )
Proof of Theorem gzaddcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 12403 . . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2 gzcn 12403 . . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3 addcl 7965 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
41, 2, 3syl2an 289 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + B ) e. CC )
5 readd 10909 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
61, 2, 5syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
7 elgz 12402 . . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
87simp2bi 1015 . . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
9 elgz 12402 . . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
109simp2bi 1015 . . . 4 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
11 zaddcl 9322 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. ZZ )
128, 10, 11syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. ZZ )
136, 12eqeltrd 2266 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A + B ) ) e. ZZ )
14 imadd 10917 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
151, 2, 14syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
167simp3bi 1016 . . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
179simp3bi 1016 . . . 4 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
18 zaddcl 9322 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. ZZ )
1916, 17, 18syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. ZZ )
2015, 19eqeltrd 2266 . 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A + B ) ) e. ZZ )
21 elgz 12402 . 2 |- ( ( A + B ) e. ZZ[_i] <-> ( ( A + B ) e. CC /\ ( Re ` ( A + B ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( A + B ) ) e. ZZ ) )
224, 13, 20, 21syl3anbrc 1183 1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + B ) e. ZZ[_i] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   + caddc 7843   ZZcz 9282   Recre 10880   Imcim 10881   ZZ[_i]cgz 12400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-n0 9206  df-z 9283  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884  df-gz 12401
This theorem is referenced by:  gzreim  12410  gzsubcl  12411  mul4sqlem  12424  gzsubrg  13882
  Copyright terms: Public domain W3C validator