Theorem gzaddcl 12367

Description: The gaussian integers are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzaddcl	|- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + B ) e. ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12362	. . 3 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
2		gzcn 12362	. . 3 |- ( B e. ZZ[_i] -> B e. CC )
3		addcl 7933	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + B ) e. CC )
5		readd 10871	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
7		elgz 12361	. . . . 5 |- ( A e. ZZ[_i] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
8	7	simp2bi 1013	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
9		elgz 12361	. . . . 5 |- ( B e. ZZ[_i] <-> ( B e. CC /\ ( Re ` B ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) )
10	9	simp2bi 1013	. . . 4 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Re ` B ) e. ZZ )
11		zaddcl 9289	. . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Re ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. ZZ )
12	8, 10, 11	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. ZZ )
13	6, 12	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Re ` ( A + B ) ) e. ZZ )
14		imadd 10879	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
15	1, 2, 14	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
16	7	simp3bi 1014	. . . 4 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
17	9	simp3bi 1014	. . . 4 |- ( B e. ZZ[_i] -> ( Im ` B ) e. ZZ )
18		zaddcl 9289	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` B ) e. ZZ ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. ZZ )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. ZZ )
20	15, 19	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( Im ` ( A + B ) ) e. ZZ )
21		elgz 12361	. 2 |- ( ( A + B ) e. ZZ[_i] <-> ( ( A + B ) e. CC /\ ( Re ` ( A + B ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( A + B ) ) e. ZZ ) )
22	4, 13, 20, 21	syl3anbrc 1181	1 |- ( ( A e. ZZ[_i] /\ B e. ZZ[_i] ) -> ( A + B ) e. ZZ[_i] )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   CCcc 7806   + caddc 7811   ZZcz 9249   Recre 10842   Imcim 10843   ZZ[_i]cgz 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-n0 9173  df-z 9250  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-gz 12360

This theorem is referenced by:  gzreim  12369  gzsubcl  12370  mul4sqlem  12383  gzsubrg  13345