Theorem imaiun 5804

Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imaiun	|- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem imaiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2783	. . . 4 |- ( E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
2		vex 2763	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	elima3 5013	. . . . 5 |- ( y e. ( A " C ) <-> E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
4	3	rexbii 2501	. . . 4 |- ( E. x e. B y e. ( A " C ) <-> E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
5		eliun 3917	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
6	5	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
7		r19.41v 2650	. . . . . 6 |- ( E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
9	8	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
10	1, 4, 9	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
11	2	elima3 5013	. . 3 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) )
12		eliun 3917	. . 3 |- ( y e. U_ x e. B ( A " C ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> y e. U_ x e. B ( A " C ) )
14	13	eqriv 2190	1 |- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   <.cop 3622   U_ciun 3913   "cima 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673

This theorem is referenced by:  imauni  5805  uniqs  6649