Theorem imaiun 5751

Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imaiun	|- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem imaiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2758	. . . 4 |- ( E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
2		vex 2738	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	elima3 4970	. . . . 5 |- ( y e. ( A " C ) <-> E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
4	3	rexbii 2482	. . . 4 |- ( E. x e. B y e. ( A " C ) <-> E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
5		eliun 3886	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
6	5	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
7		r19.41v 2631	. . . . . 6 |- ( E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
9	8	exbii 1603	. . . 4 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
10	1, 4, 9	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
11	2	elima3 4970	. . 3 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) )
12		eliun 3886	. . 3 |- ( y e. U_ x e. B ( A " C ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> y e. U_ x e. B ( A " C ) )
14	13	eqriv 2172	1 |- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   E.wrex 2454   <.cop 3592   U_ciun 3882   "cima 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-cnv 4628  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633

This theorem is referenced by:  imauni  5752  uniqs  6583