Theorem imaiun 5728

Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imaiun	|- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem imaiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2749	. . . 4 |- ( E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
2		vex 2729	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	elima3 4953	. . . . 5 |- ( y e. ( A " C ) <-> E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
4	3	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. x e. B y e. ( A " C ) <-> E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
5		eliun 3870	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
6	5	anbi1i 454	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
7		r19.41v 2622	. . . . . 6 |- ( E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
8	6, 7	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
9	8	exbii 1593	. . . 4 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
10	1, 4, 9	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
11	2	elima3 4953	. . 3 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) )
12		eliun 3870	. . 3 |- ( y e. U_ x e. B ( A " C ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> y e. U_ x e. B ( A " C ) )
14	13	eqriv 2162	1 |- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   <.cop 3579   U_ciun 3866   "cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  imauni  5729  uniqs  6559