Theorem imaiun 5939

Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imaiun	|- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem imaiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2839	. . . 4 |- ( E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
2		vex 2818	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	elima3 5113	. . . . 5 |- ( y e. ( A " C ) <-> E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
4	3	rexbii 2551	. . . 4 |- ( E. x e. B y e. ( A " C ) <-> E. x e. B E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
5		eliun 4000	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
6	5	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
7		r19.41v 2701	. . . . . 6 |- ( E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) <-> ( E. x e. B z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
9	8	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. z E. x e. B ( z e. C /\ <. z , y >. e. A ) )
10	1, 4, 9	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
11	2	elima3 5113	. . 3 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> E. z ( z e. U_ x e. B C /\ <. z , y >. e. A ) )
12		eliun 4000	. . 3 |- ( y e. U_ x e. B ( A " C ) <-> E. x e. B y e. ( A " C ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. ( A " U_ x e. B C ) <-> y e. U_ x e. B ( A " C ) )
14	13	eqriv 2231	1 |- ( A " U_ x e. B C ) = U_ x e. B ( A " C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   E.wrex 2523   <.cop 3697   U_ciun 3996   "cima 4757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767

This theorem is referenced by:  imauni  5940  uniqs  6840