ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imaiun Unicode version

Theorem imaiun 5627
Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
imaiun  |-  ( A
" U_ x  e.  B  C )  =  U_ x  e.  B  ( A " C )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem imaiun
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2681 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  E. z ( z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
)  <->  E. z E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
2 vex 2661 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
32elima3 4856 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A " C )  <->  E. z
( z  e.  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
43rexbii 2417 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A " C )  <->  E. x  e.  B  E. z
( z  e.  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
5 eliun 3785 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  z  e.  C )
65anbi1i 451 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  B  C  /\  <.
z ,  y >.  e.  A )  <->  ( E. x  e.  B  z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
7 r19.41v 2562 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <.
z ,  y >.  e.  A )  <->  ( E. x  e.  B  z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
86, 7bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  B  C  /\  <.
z ,  y >.  e.  A )  <->  E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
98exbii 1567 . . . 4  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  B  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A )  <->  E. z E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
101, 4, 93bitr4ri 212 . . 3  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  B  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A " C ) )
112elima3 4856 . . 3  |-  ( y  e.  ( A " U_ x  e.  B  C )  <->  E. z
( z  e.  U_ x  e.  B  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
12 eliun 3785 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A " C )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A " C ) )
1310, 11, 123bitr4i 211 . 2  |-  ( y  e.  ( A " U_ x  e.  B  C )  <->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A " C ) )
1413eqriv 2112 1  |-  ( A
" U_ x  e.  B  C )  =  U_ x  e.  B  ( A " C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E.wrex 2392   <.cop 3498   U_ciun 3781   "cima 4510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520
This theorem is referenced by:  imauni  5628  uniqs  6453
  Copyright terms: Public domain W3C validator