Theorem shftfib 10967

Description: Value of a fiber of the relation F. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftfib	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )

Proof of Theorem shftfib

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . 7 |- F e. _V
2	1	shftfval 10965	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
3	2	breqd 4040	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( B ( F shift A ) z <-> B { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } z ) )
4		vex 2763	. . . . . 6 |- z e. _V
5		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x e. CC <-> B e. CC ) )
6		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( x - A ) = ( B - A ) )
7	6	breq1d 4039	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( x - A ) F y <-> ( B - A ) F y ) )
8	5, 7	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F y ) ) )
9		breq2 4033	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( B - A ) F y <-> ( B - A ) F z ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( B e. CC /\ ( B - A ) F y ) <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
11		eqid 2193	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) }
12	8, 10, 11	brabg 4299	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ z e. _V ) -> ( B { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
13	4, 12	mpan2 425	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( B { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
14	3, 13	sylan9bb 462	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ( F shift A ) z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
15		ibar 301	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( ( B - A ) F z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B - A ) F z <-> ( B e. CC /\ ( B - A ) F z ) ) )
17	14, 16	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ( F shift A ) z <-> ( B - A ) F z ) )
18	17	abbidv 2311	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> { z | B ( F shift A ) z } = { z | ( B - A ) F z } )
19		imasng 5030	. . 3 |- ( B e. CC -> ( ( F shift A ) " { B } ) = { z | B ( F shift A ) z } )
20	19	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = { z | B ( F shift A ) z } )
21		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
22		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
23	21, 22	subcld 8330	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
24		imasng 5030	. . 3 |- ( ( B - A ) e. CC -> ( F " { ( B - A ) } ) = { z | ( B - A ) F z } )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F " { ( B - A ) } ) = { z | ( B - A ) F z } )
26	18, 20, 25	3eqtr4d 2236	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   {csn 3618   class class class wbr 4029   {copab 4089   "cima 4662  (class class class)co 5918   CCcc 7870   - cmin 8190   shift cshi 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-shft 10959

This theorem is referenced by:  shftval  10969