Theorem infiexmid 6935

Description: If the intersection of any finite set and any other set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
infiexmid.1	|- ( x e. Fin -> ( x i^i y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
infiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem infiexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3364	. . . . . 6 |- ( y C_ x <-> ( x i^i y ) = y )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( y C_ x -> ( x i^i y ) = y )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> ( x i^i y ) = y )
4		infiexmid.1	. . . . 5 |- ( x e. Fin -> ( x i^i y ) e. Fin )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> ( x i^i y ) e. Fin )
6	3, 5	eqeltrrd 2271	. . 3 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
7	6	gen2 1461	. 2 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
8	7	ssfiexmid 6934	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   i^i cin 3153   C_ wss 3154   Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by: (None)