Theorem infiexmid 6867

Description: If the intersection of any finite set and any other set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
infiexmid.1	|- ( x e. Fin -> ( x i^i y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
infiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem infiexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3337	. . . . . 6 |- ( y C_ x <-> ( x i^i y ) = y )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( y C_ x -> ( x i^i y ) = y )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> ( x i^i y ) = y )
4		infiexmid.1	. . . . 5 |- ( x e. Fin -> ( x i^i y ) e. Fin )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> ( x i^i y ) e. Fin )
6	3, 5	eqeltrrd 2253	. . 3 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
7	6	gen2 1448	. 2 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
8	7	ssfiexmid 6866	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2146   i^i cin 3126   C_ wss 3127   Fincfn 6730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733

This theorem is referenced by: (None)