Theorem infiexmid 7174

Description: If the intersection of any finite set and any other set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
infiexmid.1	|- ( x e. Fin -> ( x i^i y ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
infiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem infiexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3435	. . . . . 6 |- ( y C_ x <-> ( x i^i y ) = y )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( y C_ x -> ( x i^i y ) = y )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> ( x i^i y ) = y )
4		infiexmid.1	. . . . 5 |- ( x e. Fin -> ( x i^i y ) e. Fin )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> ( x i^i y ) e. Fin )
6	3, 5	eqeltrrd 2316	. . 3 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
7	6	gen2 1503	. 2 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
8	7	ssfiexmid 7171	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   i^i cin 3219   C_ wss 3220   Fincfn 7015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6680  df-er 6800  df-en 7016  df-fin 7018

This theorem is referenced by: (None)