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Theorem ssfiexmid 6590
Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfiexmid.1  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ssfiexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3966 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 snfig 6529 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
31, 2ax-mp 7 . . 3  |-  { (/) }  e.  Fin
4 ssrab2 3106 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
5 ssfiexmid.1 . . . . 5  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
6 p0ex 4023 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
7 eleq1 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( x  e.  Fin  <->  { (/) }  e.  Fin ) )
8 sseq2 3048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( y  C_  x  <->  y  C_  {
(/) } ) )
97, 8anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  <->  ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } ) ) )
109imbi1d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( ( x  e. 
Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )  <->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
1110albidv 1752 . . . . . 6  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  <->  A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
126, 11spcv 2712 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  ->  A. y ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) )
135, 12ax-mp 7 . . . 4  |-  A. y
( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_ 
{ (/) } )  -> 
y  e.  Fin )
146rabex 3983 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
15 sseq1 3047 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  C_  {
(/) }  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } ) )
1615anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  <-> 
( { (/) }  e.  Fin  /\  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) } ) ) )
17 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  e. 
Fin 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
1816, 17imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) 
<->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) } )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin )
) )
1914, 18spcv 2712 . . . 4  |-  ( A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin )  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
2013, 19ax-mp 7 . . 3  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin )
213, 4, 20mp2an 417 . 2  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2221ssfilem 6589 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   {crab 2363   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   Fincfn 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by:  infiexmid  6591
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