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Theorem ssfiexmid 6738
Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfiexmid.1  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ssfiexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4025 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 snfig 6676 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  { (/) }  e.  Fin
4 ssrab2 3152 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
5 ssfiexmid.1 . . . . 5  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
6 p0ex 4082 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
7 eleq1 2180 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( x  e.  Fin  <->  { (/) }  e.  Fin ) )
8 sseq2 3091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( y  C_  x  <->  y  C_  {
(/) } ) )
97, 8anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  <->  ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } ) ) )
109imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( ( x  e. 
Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )  <->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
1110albidv 1780 . . . . . 6  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  <->  A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
126, 11spcv 2753 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  ->  A. y ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) )
135, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  A. y
( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_ 
{ (/) } )  -> 
y  e.  Fin )
146rabex 4042 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
15 sseq1 3090 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  C_  {
(/) }  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } ) )
1615anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  <-> 
( { (/) }  e.  Fin  /\  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) } ) ) )
17 eleq1 2180 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  e. 
Fin 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
1816, 17imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) 
<->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) } )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin )
) )
1914, 18spcv 2753 . . . 4  |-  ( A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin )  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
2013, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin )
213, 4, 20mp2an 422 . 2  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2221ssfilem 6737 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682   A.wal 1314    = wceq 1316    e. wcel 1465   {crab 2397   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   (/)c0 3333   {csn 3497   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  infiexmid  6739
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