Theorem ssfiexmid 6999

Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfiexmid.1	|- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ssfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4187	. . . 4 |- (/) e. _V
2		snfig 6930	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) } e. Fin
4		ssrab2 3286	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
5		ssfiexmid.1	. . . . 5 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
6		p0ex 4248	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
7		eleq1 2270	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
8		sseq2 3225	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( y C_ x <-> y C_ { (/) } ) )
9	7, 8	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) ) )
10	9	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
11	10	albidv 1848	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
12	6, 11	spcv 2874	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
13	5, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin )
14	6	rabex 4204	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
15		sseq1 3224	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
16	15	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) ) )
17		eleq1 2270	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
19	14, 18	spcv 2874	. . . 4 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
20	13, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
21	3, 4, 20	mp2an 426	. 2 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
22	21	ssfilem 6998	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  infiexmid  7000