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Theorem ssfiexmid 6777
Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfiexmid.1  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ssfiexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4062 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 snfig 6715 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  { (/) }  e.  Fin
4 ssrab2 3186 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
5 ssfiexmid.1 . . . . 5  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
6 p0ex 4119 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
7 eleq1 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( x  e.  Fin  <->  { (/) }  e.  Fin ) )
8 sseq2 3125 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( y  C_  x  <->  y  C_  {
(/) } ) )
97, 8anbi12d 465 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  <->  ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } ) ) )
109imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( ( x  e. 
Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )  <->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
1110albidv 1797 . . . . . 6  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  <->  A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
126, 11spcv 2782 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  ->  A. y ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) )
135, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  A. y
( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_ 
{ (/) } )  -> 
y  e.  Fin )
146rabex 4079 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
15 sseq1 3124 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  C_  {
(/) }  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } ) )
1615anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  <-> 
( { (/) }  e.  Fin  /\  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) } ) ) )
17 eleq1 2203 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  e. 
Fin 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
1816, 17imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) 
<->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) } )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin )
) )
1914, 18spcv 2782 . . . 4  |-  ( A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin )  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
2013, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin )
213, 4, 20mp2an 423 . 2  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2221ssfilem 6776 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698   A.wal 1330    = wceq 1332    e. wcel 1481   {crab 2421   _Vcvv 2689    C_ wss 3075   (/)c0 3367   {csn 3531   Fincfn 6641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-fin 6644
This theorem is referenced by:  infiexmid  6778
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