Theorem infiexmid 6973

Description: If the intersection of any finite set and any other set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
infiexmid.1	⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
infiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem infiexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3376	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝑦)
2	1	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝑦)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝑦)
4		infiexmid.1	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ Fin)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ Fin)
6	3, 5	eqeltrrd 2282	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
7	6	gen2 1472	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	ssfiexmid 6972	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ∩ cin 3164   ⊆ wss 3165  Fincfn 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-1o 6501  df-er 6619  df-en 6827  df-fin 6829

This theorem is referenced by: (None)