ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infiexmid GIF version

Theorem infiexmid 6904
Description: If the intersection of any finite set and any other set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
infiexmid.1 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
infiexmid (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem infiexmid
StepHypRef Expression
1 dfss1 3354 . . . . . 6 (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑦)
21biimpi 120 . . . . 5 (𝑦𝑥 → (𝑥𝑦) = 𝑦)
32adantl 277 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) = 𝑦)
4 infiexmid.1 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
54adantr 276 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
63, 5eqeltrrd 2267 . . 3 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
76gen2 1461 . 2 𝑥𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
87ssfiexmid 6903 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  cin 3143  wss 3144  Fincfn 6765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6440  df-er 6558  df-en 6766  df-fin 6768
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator