Theorem infiexmid 6880

Description: If the intersection of any finite set and any other set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
infiexmid.1	⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
infiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem infiexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝑦)
2	1	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝑦)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝑦)
4		infiexmid.1	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ Fin)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ Fin)
6	3, 5	eqeltrrd 2255	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
7	6	gen2 1450	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	ssfiexmid 6879	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3130   ⊆ wss 3131  Fincfn 6743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746

This theorem is referenced by: (None)