ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infiexmid GIF version

Theorem infiexmid 6673
Description: If the intersection of any finite set and any other set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
infiexmid.1 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
infiexmid (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem infiexmid
StepHypRef Expression
1 dfss1 3219 . . . . . 6 (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑦)
21biimpi 119 . . . . 5 (𝑦𝑥 → (𝑥𝑦) = 𝑦)
32adantl 272 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) = 𝑦)
4 infiexmid.1 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
54adantr 271 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
63, 5eqeltrrd 2172 . . 3 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
76gen2 1391 . 2 𝑥𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
87ssfiexmid 6672 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 667   = wceq 1296  wcel 1445  cin 3012  wss 3013  Fincfn 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-1o 6219  df-er 6332  df-en 6538  df-fin 6540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator