Theorem domfiexmid 6674

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3987	. . . 4 |- (/) e. _V
2		snfig 6611	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- { (/) } e. Fin
4		ssrab2 3121	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
5		ssdomg 6575	. . . 4 |- ( { (/) } e. Fin -> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) }
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
8	7	gen2 1391	. . . . 5 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
9		p0ex 4044	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
10		eleq1 2157	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
11		breq2 3871	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	anbi12d 458	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) ) )
13	12	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
14	13	albidv 1759	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
15	9, 14	spcv 2726	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
16	8, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin )
17	9	rabex 4004	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
18		breq1 3870	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y ~<_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
19	18	anbi2d 453	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) ) )
20		eleq1 2157	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
21	19, 20	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
22	17, 21	spcv 2726	. . . 4 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
23	16, 22	ax-mp 7	. . 3 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
24	3, 6, 23	mp2an 418	. 2 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
25	24	ssfilem 6671	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 667   A.wal 1294   = wceq 1296   e. wcel 1445   {crab 2374   _Vcvv 2633   C_ wss 3013   (/)c0 3302   {csn 3466   class class class wbr 3867   ~<_ cdom 6536   Fincfn 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-1o 6219  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540

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