Theorem domfiexmid 6868

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4125	. . . 4 |- (/) e. _V
2		snfig 6804	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) } e. Fin
4		ssrab2 3238	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
5		ssdomg 6768	. . . 4 |- ( { (/) } e. Fin -> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) }
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
8	7	gen2 1448	. . . . 5 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
9		p0ex 4183	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
10		eleq1 2238	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
11		breq2 4002	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
14	13	albidv 1822	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
15	9, 14	spcv 2829	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin )
17	9	rabex 4142	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
18		breq1 4001	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y ~<_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) ) )
20		eleq1 2238	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
22	17, 21	spcv 2829	. . . 4 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
24	3, 6, 23	mp2an 426	. 2 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
25	24	ssfilem 6865	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2146   {crab 2457   _Vcvv 2735   C_ wss 3127   (/)c0 3420   {csn 3589   class class class wbr 3998   ~<_ cdom 6729   Fincfn 6730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733

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