Theorem domfiexmid 7110

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4221	. . . 4 |- (/) e. _V
2		snfig 7032	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) } e. Fin
4		ssrab2 3313	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
5		ssdomg 6995	. . . 4 |- ( { (/) } e. Fin -> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) }
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
8	7	gen2 1499	. . . . 5 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
9		p0ex 4284	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
10		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
11		breq2 4097	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
14	13	albidv 1872	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
15	9, 14	spcv 2901	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin )
17	9	rabex 4239	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
18		breq1 4096	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y ~<_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) ) )
20		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
22	17, 21	spcv 2901	. . . 4 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
24	3, 6, 23	mp2an 426	. 2 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
25	24	ssfilem 7105	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   class class class wbr 4093   ~<_ cdom 6951   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955

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