Theorem domfiexmid 6975

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4171	. . . 4 |- (/) e. _V
2		snfig 6906	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) } e. Fin
4		ssrab2 3278	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
5		ssdomg 6870	. . . 4 |- ( { (/) } e. Fin -> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) }
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
8	7	gen2 1473	. . . . 5 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
9		p0ex 4232	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
10		eleq1 2268	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
11		breq2 4048	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
14	13	albidv 1847	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
15	9, 14	spcv 2867	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin )
17	9	rabex 4188	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
18		breq1 4047	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y ~<_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) ) )
20		eleq1 2268	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
22	17, 21	spcv 2867	. . . 4 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
24	3, 6, 23	mp2an 426	. 2 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
25	24	ssfilem 6972	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044   ~<_ cdom 6826   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830

This theorem is referenced by: (None)