Theorem domfiexmid 6856

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	|- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . . 4 |- (/) e. _V
2		snfig 6792	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) } e. Fin
4		ssrab2 3232	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
5		ssdomg 6756	. . . 4 |- ( { (/) } e. Fin -> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) }
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
8	7	gen2 1443	. . . . 5 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin )
9		p0ex 4174	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
10		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
11		breq2 3993	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) ) )
13	12	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
14	13	albidv 1817	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
15	9, 14	spcv 2824	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y ~<_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin )
17	9	rabex 4133	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
18		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y ~<_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) )
19	18	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) ) )
20		eleq1 2233	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
21	19, 20	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
22	17, 21	spcv 2824	. . . 4 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y ~<_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } ~<_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
24	3, 6, 23	mp2an 424	. 2 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
25	24	ssfilem 6853	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   ~<_ cdom 6717   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721

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