ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infisoti GIF version

Theorem infisoti 7050
Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infisoti.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐡))
infisoti.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
infisoti.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑦𝑅π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯𝑅𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧𝑅𝑦)))
infisoti.ti ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 = 𝑣 ↔ (Β¬ 𝑒𝑅𝑣 ∧ Β¬ 𝑣𝑅𝑒)))
Assertion
Ref Expression
infisoti (πœ‘ β†’ inf((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, 𝑆) = (πΉβ€˜inf(𝐢, 𝐴, 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐡,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐢,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐹,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝑅,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝑆,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infisoti
StepHypRef Expression
1 infisoti.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐡))
2 isocnv2 5829 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐡) ↔ 𝐹 Isom ◑𝑅, ◑𝑆(𝐴, 𝐡))
31, 2sylib 122 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Isom ◑𝑅, ◑𝑆(𝐴, 𝐡))
4 infisoti.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
5 infisoti.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑦𝑅π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯𝑅𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧𝑅𝑦)))
65cnvinfex 7036 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯◑𝑅𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦◑𝑅π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑦◑𝑅𝑧)))
7 infisoti.ti . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 = 𝑣 ↔ (Β¬ 𝑒𝑅𝑣 ∧ Β¬ 𝑣𝑅𝑒)))
87cnvti 7037 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 = 𝑣 ↔ (Β¬ 𝑒◑𝑅𝑣 ∧ Β¬ 𝑣◑𝑅𝑒)))
93, 4, 6, 8supisoti 7028 . 2 (πœ‘ β†’ sup((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, ◑𝑆) = (πΉβ€˜sup(𝐢, 𝐴, ◑𝑅)))
10 df-inf 7003 . 2 inf((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, 𝑆) = sup((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, ◑𝑆)
11 df-inf 7003 . . 3 inf(𝐢, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐢, 𝐴, ◑𝑅)
1211fveq2i 5533 . 2 (πΉβ€˜inf(𝐢, 𝐴, 𝑅)) = (πΉβ€˜sup(𝐢, 𝐴, ◑𝑅))
139, 10, 123eqtr4g 2247 1 (πœ‘ β†’ inf((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, 𝑆) = (πΉβ€˜inf(𝐢, 𝐴, 𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  βˆ€wral 2468  βˆƒwrex 2469   βŠ† wss 3144   class class class wbr 4018  β—‘ccnv 4640   β€œ cima 4644  β€˜cfv 5231   Isom wiso 5232  supcsup 7000  infcinf 7001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-sup 7002  df-inf 7003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator