Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infisoti GIF version

Theorem infisoti 6936
 Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infisoti.1 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
infisoti.2 (𝜑𝐶𝐴)
infisoti.3 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
infisoti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
Assertion
Ref Expression
infisoti (𝜑 → inf((𝐹𝐶), 𝐵, 𝑆) = (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐹,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infisoti
StepHypRef Expression
1 infisoti.1 . . . 4 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isocnv2 5725 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))
31, 2sylib 121 . . 3 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))
4 infisoti.2 . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
5 infisoti.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
65cnvinfex 6922 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)))
7 infisoti.ti . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
87cnvti 6923 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
93, 4, 6, 8supisoti 6914 . 2 (𝜑 → sup((𝐹𝐶), 𝐵, 𝑆) = (𝐹‘sup(𝐶, 𝐴, 𝑅)))
10 df-inf 6889 . 2 inf((𝐹𝐶), 𝐵, 𝑆) = sup((𝐹𝐶), 𝐵, 𝑆)
11 df-inf 6889 . . 3 inf(𝐶, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅)
1211fveq2i 5436 . 2 (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)) = (𝐹‘sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))
139, 10, 123eqtr4g 2199 1 (𝜑 → inf((𝐹𝐶), 𝐵, 𝑆) = (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2418  ∃wrex 2419   ⊆ wss 3078   class class class wbr 3939  ◡ccnv 4550   “ cima 4554  ‘cfv 5135   Isom wiso 5136  supcsup 6886  infcinf 6887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-sup 6888  df-inf 6889 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator