Theorem infisoti 7098

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infisoti.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
infisoti.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
infisoti.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
infisoti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
infisoti	⊢ (𝜑 → inf((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, 𝑆) = (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐹,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infisoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infisoti.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		isocnv2 5859	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐹 Isom ◡𝑅, ◡𝑆(𝐴, 𝐵))
3	1, 2	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom ◡𝑅, ◡𝑆(𝐴, 𝐵))
4		infisoti.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
5		infisoti.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
6	5	cnvinfex 7084	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑦◡𝑅𝑧)))
7		infisoti.ti	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
8	7	cnvti 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢◡𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣◡𝑅𝑢)))
9	3, 4, 6, 8	supisoti 7076	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, ◡𝑆) = (𝐹‘sup(𝐶, 𝐴, ◡𝑅)))
10		df-inf 7051	. 2 ⊢ inf((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, 𝑆) = sup((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, ◡𝑆)
11		df-inf 7051	. . 3 ⊢ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, ◡𝑅)
12	11	fveq2i 5561	. 2 ⊢ (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)) = (𝐹‘sup(𝐶, 𝐴, ◡𝑅))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2254	1 ⊢ (𝜑 → inf((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, 𝑆) = (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  ^◡ccnv 4662   “ cima 4666  ‘cfv 5258   Isom wiso 5259  supcsup 7048  infcinf 7049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-sup 7050  df-inf 7051

This theorem is referenced by: (None)