Theorem iscld 14282

Description: The predicate "the class 𝑆 is a closed set". (Contributed by NM, 2-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iscld	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem iscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	cldval 14278	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽})
3	2	eleq2d 2263	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ 𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽}))
4		difeq2 3272	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑋 ∖ 𝑥) = (𝑋 ∖ 𝑆))
5	4	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
6	5	elrab 2917	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
7	3, 6	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
8	1	topopn 14187	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9		elpw2g 4186	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
11	10	anbi1d 465	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
12	7, 11	bitrd 188	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   ∖ cdif 3151   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602  ∪ cuni 3836  ‘cfv 5255  Topctop 14176  Clsdccld 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 14177  df-cld 14274

This theorem is referenced by:  iscld2  14283  cldss  14284  cldopn  14286  topcld  14288  discld  14315