Theorem isneip 12786

Description: The predicate "the class N is a neighborhood of point P". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isneip	|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   g, J   g, N   P, g   g, X

Proof of Theorem isneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3717	. . 3 |- ( P e. X -> { P } C_ X )
2		neifval.1	. . . 4 |- X = U. J
3	2	isnei 12784	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
4	1, 3	sylan2 284	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
5		snssg 3709	. . . . . 6 |- ( P e. X -> ( P e. g <-> { P } C_ g ) )
6	5	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( P e. X -> ( ( P e. g /\ g C_ N ) <-> ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) )
7	6	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( P e. X -> ( E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) <-> E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) )
8	7	anbi2d 460	. . 3 |- ( P e. X -> ( ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
9	8	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
10	4, 9	bitr4d 190	1 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   C_ wss 3116   {csn 3576   U.cuni 3789   ` cfv 5188   Topctop 12635   neicnei 12778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-top 12636  df-nei 12779

This theorem is referenced by:  neipsm  12794  cnpnei  12859  neibl  13131