Theorem isneip 15137

Description: The predicate "the class N is a neighborhood of point P". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isneip	|- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   g, J   g, N   P, g   g, X

Proof of Theorem isneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3843	. . 3 |- ( P e. X -> { P } C_ X )
2		neifval.1	. . . 4 |- X = U. J
3	2	isnei 15135	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
4	1, 3	sylan2 286	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
5		snssg 3833	. . . . . 6 |- ( P e. X -> ( P e. g <-> { P } C_ g ) )
6	5	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( P e. X -> ( ( P e. g /\ g C_ N ) <-> ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) )
7	6	rexbidv 2545	. . . 4 |- ( P e. X -> ( E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) <-> E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) )
8	7	anbi2d 464	. . 3 |- ( P e. X -> ( ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
9	8	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( { P } C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
10	4, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( P e. g /\ g C_ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   C_ wss 3214   {csn 3694   U.cuni 3919   ` cfv 5357   Topctop 14988   neicnei 15129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-top 14989  df-nei 15130

This theorem is referenced by:  neipsm  15145  cnpnei  15210  neibl  15482