Theorem neii1 13227

Description: A neighborhood is included in the topology's base set. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neii1	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ X )

Proof of Theorem neii1

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	neiss2 13222	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
3	1	isnei 13224	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N C_ X /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) -> N C_ X )
5	3, 4	syl6bi 163	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> N C_ X ) )
6	5	impancom 260	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( S C_ X -> N C_ X ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   E.wrex 2454   C_ wss 3127   U.cuni 3805   ` cfv 5208   Topctop 13075   neicnei 13218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-top 13076  df-nei 13219

This theorem is referenced by:  neisspw  13228  neiss  13230  neiuni  13241  topssnei  13242  innei  13243  neissex  13245  iscnp4  13298  neitx  13348