Theorem neii1 14821

Description: A neighborhood is included in the topology's base set. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neii1	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ X )

Proof of Theorem neii1

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	neiss2 14816	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
3	1	isnei 14818	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N C_ X /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) -> N C_ X )
5	3, 4	biimtrdi 163	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> N C_ X ) )
6	5	impancom 260	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( S C_ X -> N C_ X ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   C_ wss 3197   U.cuni 3888   ` cfv 5318   Topctop 14671   neicnei 14812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-top 14672  df-nei 14813

This theorem is referenced by:  neisspw  14822  neiss  14824  neiuni  14835  topssnei  14836  innei  14837  neissex  14839  iscnp4  14892  neitx  14942