ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isneip GIF version

Theorem isneip 13917
Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of point 𝑃". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isneip ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip
StepHypRef Expression
1 snssi 3748 . . 3 (𝑃𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
32isnei 13915 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
41, 3sylan2 286 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
5 snssg 3738 . . . . . 6 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
65anbi1d 465 . . . . 5 (𝑃𝑋 → ((𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
76rexbidv 2488 . . . 4 (𝑃𝑋 → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
87anbi2d 464 . . 3 (𝑃𝑋 → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
98adantl 277 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
104, 9bitr4d 191 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  wrex 2466  wss 3141  {csn 3604   cuni 3821  cfv 5228  Topctop 13768  neicnei 13909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-top 13769  df-nei 13910
This theorem is referenced by:  neipsm  13925  cnpnei  13990  neibl  14262
  Copyright terms: Public domain W3C validator