Theorem isneip 12506

Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of point 𝑃". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3700	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2		neifval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	isnei 12504	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
4	1, 3	sylan2 284	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
5		snssg 3692	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
6	5	anbi1d 461	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
7	6	rexbidv 2458	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
8	7	anbi2d 460	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
9	8	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
10	4, 9	bitr4d 190	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   ⊆ wss 3102  {csn 3560  ∪ cuni 3772  ‘cfv 5167  Topctop 12355  neicnei 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-top 12356  df-nei 12499

This theorem is referenced by:  neipsm  12514  cnpnei  12579  neibl  12851