ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isneip GIF version

Theorem isneip 12152
Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of point 𝑃". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isneip ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip
StepHypRef Expression
1 snssi 3628 . . 3 (𝑃𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
32isnei 12150 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
41, 3sylan2 282 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
5 snssg 3620 . . . . . 6 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
65anbi1d 458 . . . . 5 (𝑃𝑋 → ((𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
76rexbidv 2410 . . . 4 (𝑃𝑋 → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
87anbi2d 457 . . 3 (𝑃𝑋 → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
98adantl 273 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
104, 9bitr4d 190 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  wrex 2389  wss 3035  {csn 3491   cuni 3700  cfv 5079  Topctop 12001  neicnei 12144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-top 12002  df-nei 12145
This theorem is referenced by:  neipsm  12160  cnpnei  12224  neibl  12474
  Copyright terms: Public domain W3C validator