Theorem isneip 14998

Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of point 𝑃". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3837	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2		neifval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	isnei 14996	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
4	1, 3	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
5		snssg 3827	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
6	5	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
7	6	rexbidv 2543	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
8	7	anbi2d 464	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
9	8	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
10	4, 9	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   ⊆ wss 3210  {csn 3688  ∪ cuni 3913  ‘cfv 5351  Topctop 14849  neicnei 14990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-top 14850  df-nei 14991

This theorem is referenced by:  neipsm  15006  cnpnei  15071  neibl  15343