Theorem neibl 13285

Description: The neighborhoods around a point P of a metric space are those subsets containing a ball around P. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
neibl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   J, r   N, r   P, r   X, r

Proof of Theorem neibl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntop 13238	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> J e. Top )
4	1	mopnuni 13239	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
5	4	eleq2d 2240	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( P e. X <-> P e. U. J ) )
6	5	biimpa 294	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> P e. U. J )
7		eqid 2170	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7	isneip 12940	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ P e. U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
9	3, 6, 8	syl2anc 409	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
10	4	sseq2d 3177	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
11	10	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
12	11	anbi1d 462	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
13	1	mopni2 13277	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y )
14		sstr2 3154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( y C_ N -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
15	14	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ N -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
16	15	reximdv 2571	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ N -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
17	13, 16	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
18	17	3exp 1197	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( P e. y -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) ) )
19	18	imp4a 347	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
20	19	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
21	20	rexlimdv 2586	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
22		rpxr 9618	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
23	1	blopn 13284	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
24	22, 23	syl3an3 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
25		blcntr 13210	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) r ) )
26		eleq2 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( P e. y <-> P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) )
27		sseq1 3170	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( y C_ N <-> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
28	26, 27	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) <-> ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
29	28	rspcev 2834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) )
30	29	expr 373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
31	24, 25, 30	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
32	31	3expia 1200	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( r e. RR+ -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
33	32	rexlimdv 2586	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
34	33	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
35	21, 34	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) <-> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
36	35	pm5.32da 449	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
37	9, 12, 36	3bitr2d 215	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   {csn 3583   U.cuni 3796   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RR*cxr 7953   RR+crp 9610   *Metcxmet 12774   ballcbl 12776   MetOpencmopn 12779   Topctop 12789   neicnei 12932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-nei 12933

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