Theorem neibl 15302

Description: The neighborhoods around a point P of a metric space are those subsets containing a ball around P. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
neibl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   J, r   N, r   P, r   X, r

Proof of Theorem neibl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntop 15255	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> J e. Top )
4	1	mopnuni 15256	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
5	4	eleq2d 2301	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( P e. X <-> P e. U. J ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> P e. U. J )
7		eqid 2231	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7	isneip 14957	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ P e. U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
9	3, 6, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
10	4	sseq2d 3258	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
12	11	anbi1d 465	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
13	1	mopni2 15294	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y )
14		sstr2 3235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( y C_ N -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
15	14	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ N -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
16	15	reximdv 2634	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ N -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
17	13, 16	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
18	17	3exp 1229	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( P e. y -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) ) )
19	18	imp4a 349	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
21	20	rexlimdv 2650	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
22		rpxr 9957	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
23	1	blopn 15301	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
24	22, 23	syl3an3 1309	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
25		blcntr 15227	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) r ) )
26		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( P e. y <-> P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) )
27		sseq1 3251	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( y C_ N <-> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
28	26, 27	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) <-> ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
29	28	rspcev 2911	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) )
30	29	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
31	24, 25, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
32	31	3expia 1232	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( r e. RR+ -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
33	32	rexlimdv 2650	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
35	21, 34	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) <-> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
36	35	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
37	9, 12, 36	3bitr2d 216	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   C_ wss 3201   {csn 3673   U.cuni 3898   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RR*cxr 8272   RR+crp 9949   *Metcxmet 14632   ballcbl 14634   MetOpencmopn 14637   Topctop 14808   neicnei 14949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-nei 14950

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