Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neibl Unicode version

Theorem neibl 12697
 Description: The neighborhoods around a point of a metric space are those subsets containing a ball around . Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1
Assertion
Ref Expression
neibl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem neibl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5
21mopntop 12650 . . . 4
41mopnuni 12651 . . . . 5
54eleq2d 2210 . . . 4
65biimpa 294 . . 3
7 eqid 2140 . . . 4
87isneip 12352 . . 3
93, 6, 8syl2anc 409 . 2
104sseq2d 3131 . . . 4
1211anbi1d 461 . 2
131mopni2 12689 . . . . . . . . 9
14 sstr2 3108 . . . . . . . . . . 11
1514com12 30 . . . . . . . . . 10
1615reximdv 2536 . . . . . . . . 9
1713, 16syl5com 29 . . . . . . . 8
18173exp 1181 . . . . . . 7
1918imp4a 347 . . . . . 6
2019ad2antrr 480 . . . . 5
2120rexlimdv 2551 . . . 4
22 rpxr 9477 . . . . . . . . 9
231blopn 12696 . . . . . . . . 9
2422, 23syl3an3 1252 . . . . . . . 8
25 blcntr 12622 . . . . . . . 8
26 eleq2 2204 . . . . . . . . . . 11
27 sseq1 3124 . . . . . . . . . . 11
2826, 27anbi12d 465 . . . . . . . . . 10
2928rspcev 2792 . . . . . . . . 9
3029expr 373 . . . . . . . 8
3124, 25, 30syl2anc 409 . . . . . . 7
32313expia 1184 . . . . . 6
3332rexlimdv 2551 . . . . 5
3433adantr 274 . . . 4
3521, 34impbid 128 . . 3
3635pm5.32da 448 . 2
379, 12, 363bitr2d 215 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wrex 2418   wss 3075  csn 3531  cuni 3743  cfv 5130  (class class class)co 5781  cxr 7822  crp 9469  cxmet 12186  cbl 12188  cmopn 12191  ctop 12201  cnei 12344 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-nei 12345 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator