Theorem neibl 13141

Description: The neighborhoods around a point P of a metric space are those subsets containing a ball around P. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
neibl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   J, r   N, r   P, r   X, r

Proof of Theorem neibl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntop 13094	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> J e. Top )
4	1	mopnuni 13095	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
5	4	eleq2d 2236	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( P e. X <-> P e. U. J ) )
6	5	biimpa 294	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> P e. U. J )
7		eqid 2165	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7	isneip 12796	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ P e. U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
9	3, 6, 8	syl2anc 409	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
10	4	sseq2d 3172	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
11	10	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
12	11	anbi1d 461	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
13	1	mopni2 13133	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y )
14		sstr2 3149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( y C_ N -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
15	14	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ N -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
16	15	reximdv 2567	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ N -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
17	13, 16	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
18	17	3exp 1192	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( P e. y -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) ) )
19	18	imp4a 347	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
20	19	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
21	20	rexlimdv 2582	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
22		rpxr 9597	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
23	1	blopn 13140	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
24	22, 23	syl3an3 1263	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
25		blcntr 13066	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) r ) )
26		eleq2 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( P e. y <-> P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) )
27		sseq1 3165	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( y C_ N <-> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
28	26, 27	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) <-> ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
29	28	rspcev 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) )
30	29	expr 373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
31	24, 25, 30	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
32	31	3expia 1195	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( r e. RR+ -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
33	32	rexlimdv 2582	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
34	33	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
35	21, 34	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) <-> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
36	35	pm5.32da 448	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
37	9, 12, 36	3bitr2d 215	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   C_ wss 3116   {csn 3576   U.cuni 3789   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RR*cxr 7932   RR+crp 9589   *Metcxmet 12630   ballcbl 12632   MetOpencmopn 12635   Topctop 12645   neicnei 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12637  df-xmet 12638  df-bl 12640  df-mopn 12641  df-top 12646  df-topon 12659  df-bases 12691  df-nei 12789

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