Theorem isores2 5863

Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isores2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Proof of Theorem isores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5507	. . . . . . . 8 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
2		ffvelcdm 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. B )
3	2	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
4		ffvelcdm 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. B )
5	4	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
6		brinxp 4732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
8	1, 7	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
9	8	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
10	9	bibi2d 232	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
11	10	ralbidva 2493	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
12	11	ralbidva 2493	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
13	12	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
14		df-isom 5268	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
15		df-isom 5268	. 2 |- ( H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 212	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   A.wral 2475   i^i cin 3156   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259   Isom wiso 5260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268

This theorem is referenced by:  isores1  5864