Theorem isores2 5707

Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isores2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Proof of Theorem isores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5360	. . . . . . . 8 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
2		ffvelrn 5546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. B )
3	2	adantrr 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
4		ffvelrn 5546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. B )
5	4	adantrl 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
6		brinxp 4602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
8	1, 7	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
9	8	anassrs 397	. . . . . 6 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
10	9	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
11	10	ralbidva 2431	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
12	11	ralbidva 2431	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
13	12	pm5.32i 449	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
14		df-isom 5127	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
15		df-isom 5127	. 2 |- ( H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   A.wral 2414   i^i cin 3065   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118   Isom wiso 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127

This theorem is referenced by:  isores1  5708