Theorem isores2 5760

Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isores2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Proof of Theorem isores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5413	. . . . . . . 8 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
2		ffvelrn 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. B )
3	2	adantrr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
4		ffvelrn 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. B )
5	4	adantrl 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
6		brinxp 4653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
8	1, 7	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
9	8	anassrs 398	. . . . . 6 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
10	9	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
11	10	ralbidva 2453	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
12	11	ralbidva 2453	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
13	12	pm5.32i 450	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
14		df-isom 5178	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
15		df-isom 5178	. 2 |- ( H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   A.wral 2435   i^i cin 3101   class class class wbr 3965   X. cxp 4583   -->wf 5165   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169   Isom wiso 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178

This theorem is referenced by:  isores1  5761