Theorem isores2 5949

Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isores2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Proof of Theorem isores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5580	. . . . . . . 8 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
2		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. B )
3	2	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
4		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. B )
5	4	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
6		brinxp 4792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
8	1, 7	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
9	8	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
10	9	bibi2d 232	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
11	10	ralbidva 2526	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
12	11	ralbidva 2526	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
13	12	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
14		df-isom 5333	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
15		df-isom 5333	. 2 |- ( H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 212	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   i^i cin 3197   class class class wbr 4086   X. cxp 4721   -->wf 5320   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324   Isom wiso 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333

This theorem is referenced by:  isores1  5950