Theorem leadd2i 8614

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	|- A e. RR
lt2.2	|- B e. RR
lt2.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
leadd2i	|- ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) )

Proof of Theorem leadd2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2.1	. 2 |- A e. RR
2		lt2.2	. 2 |- B e. RR
3		lt2.3	. 2 |- C e. RR
4		leadd2 8541	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1350	1 |- ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4060  (class class class)co 5969   RRcr 7961   + caddc 7965   <_ cle 8145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-i2m1 8067  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-xp 4700  df-cnv 4702  df-iota 5252  df-fv 5299  df-ov 5972  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150

This theorem is referenced by:  decle  9574