Theorem leadd2 8670

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leadd2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )

Proof of Theorem leadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1 8669	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )
2		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
3	2	recnd 8267	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
4		simp3 1026	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
5	4	recnd 8267	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
6	3, 5	addcomd 8389	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + C ) = ( C + A ) )
7		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 8267	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	8, 5	addcomd 8389	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) = ( C + B ) )
10	6, 9	breq12d 4106	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + C ) <_ ( B + C ) <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )
11	1, 10	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   + caddc 8095   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  le2add  8683  ltleadd  8685  lesub2  8696  addge01  8711  leadd2i  8743  leadd2d  8779  expubnd  10921  bernneq  10985  faclbnd6  11069