Theorem leadd2 8722

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leadd2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )

Proof of Theorem leadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1 8721	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )
2		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
3	2	recnd 8318	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
4		simp3 1026	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
5	4	recnd 8318	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
6	3, 5	addcomd 8440	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + C ) = ( C + A ) )
7		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 8318	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	8, 5	addcomd 8440	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) = ( C + B ) )
10	6, 9	breq12d 4127	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + C ) <_ ( B + C ) <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )
11	1, 10	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   + caddc 8146   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  le2add  8735  ltleadd  8737  lesub2  8748  addge01  8763  leadd2i  8795  leadd2d  8831  expubnd  10982  bernneq  11047  faclbnd6  11131