Theorem decle 9742

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	|- A e. NN0
decle.2	|- B e. NN0
decle.3	|- C e. NN0
decle.4	|- B <_ C

Assertion

Ref	Expression
decle	|- ; A B <_ ; A C

Proof of Theorem decle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.4	. . 3 |- B <_ C
2		decle.2	. . . . 5 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 9507	. . . 4 |- B e. RR
4		decle.3	. . . . 5 |- C e. NN0
5	4	nn0rei 9507	. . . 4 |- C e. RR
6		10nn0 9726	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN0
7		decle.1	. . . . . 6 |- A e. NN0
8	6, 7	nn0mulcli 9534	. . . . 5 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
9	8	nn0rei 9507	. . . 4 |- (; 1 0 x. A ) e. RR
10	3, 5, 9	leadd2i 8778	. . 3 |- ( B <_ C <-> ( (; 1 0 x. A ) + B ) <_ ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
11	1, 10	mpbi 145	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) <_ ( (; 1 0 x. A ) + C )
12		dfdec10 9712	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
13		dfdec10 9712	. 2 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
14	11, 12, 13	3brtr4i 4139	1 |- ; A B <_ ; A C

Syntax hints:   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   <_ cle 8309   NN0cn0 9496  ;cdc 9709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710

This theorem is referenced by: (None)