Theorem decle 9067

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	|- A e. NN0
decle.2	|- B e. NN0
decle.3	|- C e. NN0
decle.4	|- B <_ C

Assertion

Ref	Expression
decle	|- ; A B <_ ; A C

Proof of Theorem decle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.4	. . 3 |- B <_ C
2		decle.2	. . . . 5 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 8840	. . . 4 |- B e. RR
4		decle.3	. . . . 5 |- C e. NN0
5	4	nn0rei 8840	. . . 4 |- C e. RR
6		10nn0 9051	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN0
7		decle.1	. . . . . 6 |- A e. NN0
8	6, 7	nn0mulcli 8867	. . . . 5 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
9	8	nn0rei 8840	. . . 4 |- (; 1 0 x. A ) e. RR
10	3, 5, 9	leadd2i 8133	. . 3 |- ( B <_ C <-> ( (; 1 0 x. A ) + B ) <_ ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
11	1, 10	mpbi 144	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) <_ ( (; 1 0 x. A ) + C )
12		dfdec10 9037	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
13		dfdec10 9037	. 2 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
14	11, 12, 13	3brtr4i 3903	1 |- ; A B <_ ; A C

Syntax hints:   e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   0cc0 7500   1c1 7501   + caddc 7503   x. cmul 7505   <_ cle 7673   NN0cn0 8829  ;cdc 9034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-9 8644  df-n0 8830  df-dec 9035

This theorem is referenced by: (None)