ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decle Unicode version

Theorem decle 9238
Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decle.1  |-  A  e. 
NN0
decle.2  |-  B  e. 
NN0
decle.3  |-  C  e. 
NN0
decle.4  |-  B  <_  C
Assertion
Ref Expression
decle  |- ; A B  <_ ; A C

Proof of Theorem decle
StepHypRef Expression
1 decle.4 . . 3  |-  B  <_  C
2 decle.2 . . . . 5  |-  B  e. 
NN0
32nn0rei 9011 . . . 4  |-  B  e.  RR
4 decle.3 . . . . 5  |-  C  e. 
NN0
54nn0rei 9011 . . . 4  |-  C  e.  RR
6 10nn0 9222 . . . . . 6  |- ; 1 0  e.  NN0
7 decle.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
NN0
86, 7nn0mulcli 9038 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  A
)  e.  NN0
98nn0rei 9011 . . . 4  |-  (; 1 0  x.  A
)  e.  RR
103, 5, 9leadd2i 8289 . . 3  |-  ( B  <_  C  <->  ( (; 1 0  x.  A )  +  B )  <_  (
(; 1 0  x.  A
)  +  C ) )
111, 10mpbi 144 . 2  |-  ( (; 1
0  x.  A )  +  B )  <_ 
( (; 1 0  x.  A
)  +  C )
12 dfdec10 9208 . 2  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
13 dfdec10 9208 . 2  |- ; A C  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  C )
1411, 12, 133brtr4i 3965 1  |- ; A B  <_ ; A C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   0cc0 7643   1c1 7644    + caddc 7646    x. cmul 7648    <_ cle 7824   NN0cn0 9000  ;cdc 9205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-5 8805  df-6 8806  df-7 8807  df-8 8808  df-9 8809  df-n0 9001  df-dec 9206
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator