Theorem decle 9412

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	|- A e. NN0
decle.2	|- B e. NN0
decle.3	|- C e. NN0
decle.4	|- B <_ C

Assertion

Ref	Expression
decle	|- ; A B <_ ; A C

Proof of Theorem decle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.4	. . 3 |- B <_ C
2		decle.2	. . . . 5 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 9182	. . . 4 |- B e. RR
4		decle.3	. . . . 5 |- C e. NN0
5	4	nn0rei 9182	. . . 4 |- C e. RR
6		10nn0 9396	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN0
7		decle.1	. . . . . 6 |- A e. NN0
8	6, 7	nn0mulcli 9209	. . . . 5 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
9	8	nn0rei 9182	. . . 4 |- (; 1 0 x. A ) e. RR
10	3, 5, 9	leadd2i 8456	. . 3 |- ( B <_ C <-> ( (; 1 0 x. A ) + B ) <_ ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
11	1, 10	mpbi 145	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) <_ ( (; 1 0 x. A ) + C )
12		dfdec10 9382	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
13		dfdec10 9382	. 2 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
14	11, 12, 13	3brtr4i 4032	1 |- ; A B <_ ; A C

Syntax hints:   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871   0cc0 7807   1c1 7808   + caddc 7810   x. cmul 7812   <_ cle 7988   NN0cn0 9171  ;cdc 9379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-5 8976  df-6 8977  df-7 8978  df-8 8979  df-9 8980  df-n0 9172  df-dec 9380

This theorem is referenced by: (None)