Theorem lmod0vid 14249

Description: Identity equivalent to the value of the zero vector. Provides a convenient way to compute the value. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vlid.v	|- V = ( Base ` W )
0vlid.a	|- .+ = ( +g ` W )
0vlid.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmod0vid	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )

Proof of Theorem lmod0vid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14223	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		0vlid.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		0vlid.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` W )
4		0vlid.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
5	2, 3, 4	grpid 13538	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1375   e. wcel 2180   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   Basecbs 12998   +g cplusg 13076   0gc0g 13255   Grpcgrp 13499   LModclmod 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-lmod 14218

This theorem is referenced by:  lmod0vs  14250