Theorem lmod0vid 14337

Description: Identity equivalent to the value of the zero vector. Provides a convenient way to compute the value. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vlid.v	|- V = ( Base ` W )
0vlid.a	|- .+ = ( +g ` W )
0vlid.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmod0vid	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )

Proof of Theorem lmod0vid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14311	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		0vlid.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		0vlid.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` W )
4		0vlid.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
5	2, 3, 4	grpid 13624	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13084   +g cplusg 13162   0gc0g 13341   Grpcgrp 13585   LModclmod 14304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-lmod 14306

This theorem is referenced by:  lmod0vs  14338