Theorem lmod0vid 14305

Description: Identity equivalent to the value of the zero vector. Provides a convenient way to compute the value. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vlid.v	|- V = ( Base ` W )
0vlid.a	|- .+ = ( +g ` W )
0vlid.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmod0vid	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )

Proof of Theorem lmod0vid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14279	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		0vlid.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		0vlid.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` W )
4		0vlid.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
5	2, 3, 4	grpid 13593	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( X .+ X ) = X <-> .0. = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   Basecbs 13053   +g cplusg 13131   0gc0g 13310   Grpcgrp 13554   LModclmod 14272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-lmod 14274

This theorem is referenced by:  lmod0vs  14306