ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmod0vid GIF version

Theorem lmod0vid 13597
Description: Identity equivalent to the value of the zero vector. Provides a convenient way to compute the value. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a + = (+g𝑊)
0vlid.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋0 = 𝑋))

Proof of Theorem lmod0vid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 13571 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 0vlid.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 0vlid.a . . 3 + = (+g𝑊)
4 0vlid.z . . 3 0 = (0g𝑊)
52, 3, 4grpid 12949 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋0 = 𝑋))
61, 5sylan 283 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋0 = 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12480  +gcplusg 12555  0gc0g 12727  Grpcgrp 12911  LModclmod 13564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-lmod 13566
This theorem is referenced by:  lmod0vs  13598
  Copyright terms: Public domain W3C validator