Theorem lmod0vid 13819

Description: Identity equivalent to the value of the zero vector. Provides a convenient way to compute the value. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vlid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
0vlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

Proof of Theorem lmod0vid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13793	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vlid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vlid.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		0vlid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpid 13114	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))
6	1, 5	sylan 283	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  0_gc0g 12870  Grpcgrp 13075  LModclmod 13786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-lmod 13788

This theorem is referenced by:  lmod0vs  13820