Theorem lmodgrp 14327

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	|- ( W e. LMod -> W e. Grp )

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		eqid 2231	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
7		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
8		eqid 2231	. . 3 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14324	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ (Scalar ` W ) e. Ring /\ A. q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp1bi 1038	1 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179  Scalarcsca 13181   .scvsca 13182   Grpcgrp 13601   1rcur 13991   Ringcrg 14028   LModclmod 14320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-lmod 14322

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  14330  lmodbn0  14331  lmodvacl  14335  lmodass  14336  lmodlcan  14337  lmod0vcl  14350  lmod0vlid  14351  lmod0vrid  14352  lmod0vid  14353  lmodvsmmulgdi  14356  lmodfopnelem1  14357  lmodfopne  14359  lmodvnegcl  14361  lmodvnegid  14362  lmodvsubcl  14365  lmodcom  14366  lmodabl  14367  lmodvpncan  14373  lmodvnpcan  14374  lmodsubeq0  14379  lmodsubid  14380  lmodprop2d  14381  lss1  14395  lsssubg  14410  islss3  14412  lspsnneg  14453  lspsnsub  14454  lmodindp1  14461