Theorem lmodgrp 14739

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	|- ( W e. LMod -> W e. Grp )

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		eqid 2238	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
7		eqid 2238	. . 3 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
8		eqid 2238	. . 3 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14736	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ (Scalar ` W ) e. Ring /\ A. q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp1bi 1043	1 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   Grpcgrp 13864   1rcur 14369   Ringcrg 14407   LModclmod 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-lmod 14734

This theorem is used by:  lmodgrpd  14742  lmodbn0  14743  lmodvacl  14747  lmodass  14748  lmodlcan  14749  lmod0vcl  14763  lmod0vlid  14764  lmod0vrid  14765  lmod0vid  14766  lmodvsmmulgdi  14769  lmodfopnelem1  14770  lmodfopne  14772  lmodvnegcl  14774  lmodvnegid  14775  lmodvsubcl  14778  lmodcom  14779  lmodabl  14780  lmodvpncan  14786  lmodvnpcan  14787  lmodsubeq0  14792  lmodsubid  14793  lmodprop2d  14794  lss1  14808  lsssubg  14823  islss3  14825  lspsnneg  14866  lspsnsub  14867  lmodindp1  14874