Theorem lmodgrp 14027

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	|- ( W e. LMod -> W e. Grp )

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2204	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2204	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		eqid 2204	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2204	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2204	. . 3 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
7		eqid 2204	. . 3 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
8		eqid 2204	. . 3 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14024	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ (Scalar ` W ) e. Ring /\ A. q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp1bi 1014	1 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   .rcmulr 12881  Scalarcsca 12883   .scvsca 12884   Grpcgrp 13303   1rcur 13692   Ringcrg 13729   LModclmod 14020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-sca 12896  df-vsca 12897  df-lmod 14022

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  14030  lmodbn0  14031  lmodvacl  14035  lmodass  14036  lmodlcan  14037  lmod0vcl  14050  lmod0vlid  14051  lmod0vrid  14052  lmod0vid  14053  lmodvsmmulgdi  14056  lmodfopnelem1  14057  lmodfopne  14059  lmodvnegcl  14061  lmodvnegid  14062  lmodvsubcl  14065  lmodcom  14066  lmodabl  14067  lmodvpncan  14073  lmodvnpcan  14074  lmodsubeq0  14079  lmodsubid  14080  lmodprop2d  14081  lss1  14095  lsssubg  14110  islss3  14112  lspsnneg  14153  lspsnsub  14154  lmodindp1  14161