Theorem lmodgrp 14568

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	|- ( W e. LMod -> W e. Grp )

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		eqid 2234	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
7		eqid 2234	. . 3 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
8		eqid 2234	. . 3 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14565	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ (Scalar ` W ) e. Ring /\ A. q e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp1bi 1039	1 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375  Scalarcsca 13377   .scvsca 13378   Grpcgrp 13755   1rcur 14202   Ringcrg 14239   LModclmod 14561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-lmod 14563

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  14571  lmodbn0  14572  lmodvacl  14576  lmodass  14577  lmodlcan  14578  lmod0vcl  14591  lmod0vlid  14592  lmod0vrid  14593  lmod0vid  14594  lmodvsmmulgdi  14597  lmodfopnelem1  14598  lmodfopne  14600  lmodvnegcl  14602  lmodvnegid  14603  lmodvsubcl  14606  lmodcom  14607  lmodabl  14608  lmodvpncan  14614  lmodvnpcan  14615  lmodsubeq0  14620  lmodsubid  14621  lmodprop2d  14622  lss1  14636  lsssubg  14651  islss3  14653  lspsnneg  14694  lspsnsub  14695  lmodindp1  14702