Theorem lmodacl 14635

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodacl.k	|- K = ( Base ` F )
lmodacl.p	|- .+ = ( +g ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	|- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodfgrp 14632	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
3		lmodacl.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
4		lmodacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` F )
5	3, 4	grpcl 13813	. 2 |- ( ( F e. Grp /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )
6	2, 5	syl3an1 1311	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431  Scalarcsca 13434   Grpcgrp 13805   LModclmod 14623

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-ring 14302  df-lmod 14625

This theorem is used by:  lmodcom  14670  lss1d  14720