Theorem lmodacl 14146

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodacl.k	|- K = ( Base ` F )
lmodacl.p	|- .+ = ( +g ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	|- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodfgrp 14143	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
3		lmodacl.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
4		lmodacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` F )
5	3, 4	grpcl 13425	. 2 |- ( ( F e. Grp /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )
6	2, 5	syl3an1 1283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   Basecbs 12917   +g cplusg 12994  Scalarcsca 12997   Grpcgrp 13417   LModclmod 14134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-fv 5293  df-ov 5965  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-ring 13845  df-lmod 14136

This theorem is referenced by:  lmodcom  14180  lss1d  14230