Theorem lss1d 13475

Description: One-dimensional subspace (or zero-dimensional if X is the zero vector). (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss1d.v	|- V = ( Base ` W )
lss1d.f	|- F = (Scalar ` W )
lss1d.t	|- .x. = ( .s ` W )
lss1d.k	|- K = ( Base ` F )
lss1d.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss1d	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. S )

Distinct variable groups:   v, k, K   .x. , k, v   k, V, v   k, F   k, W, v   k, X, v

Allowed substitution hints:   S( v, k)   F( v)

Proof of Theorem lss1d

Dummy variables a b j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss1d.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> F = (Scalar ` W ) )
3		lss1d.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> K = ( Base ` F ) )
5		lss1d.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> V = ( Base ` W ) )
7		eqidd 2178	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
8		lss1d.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
9	8	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .x. = ( .s ` W ) )
10		lss1d.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
11	10	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> S = ( LSubSp ` W ) )
12	5, 1, 8, 3	lmodvscl 13400	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ k e. K /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. V )
13	12	3expa 1203	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ k e. K ) /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. V )
14	13	an32s 568	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( k .x. X ) e. V )
15		eleq1a 2249	. . . . 5 |- ( ( k .x. X ) e. V -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. V ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. V ) )
17	16	rexlimdva 2594	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) -> v e. V ) )
18	17	abssdv 3231	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } C_ V )
19		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
20	1, 3, 19	lmod0cl 13409	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` F ) e. K )
21		elex2 2755	. . . . 5 |- ( ( 0g ` F ) e. K -> E. k k e. K )
22	20, 21	syl 14	. . . 4 |- ( W e. LMod -> E. k k e. K )
23	22	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> E. k k e. K )
24		nfv 1528	. . . 4 |- F/ k ( W e. LMod /\ X e. V )
25		nfre1 2520	. . . . . 6 |- F/ k E. k e. K v = ( k .x. X )
26	25	nfsab 2169	. . . . 5 |- F/ k j e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) }
27	26	nfex 1637	. . . 4 |- F/ k E. j j e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) }
28		vex 2742	. . . . . . . 8 |- k e. _V
29		vscaslid 12623	. . . . . . . . . . 11 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
30	29	slotex 12491	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
31	8, 30	eqeltrid 2264	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> .x. e. _V )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .x. e. _V )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
34		ovexg 5911	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. _V /\ .x. e. _V /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
35	28, 32, 33, 34	mp3an2i 1342	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
36		elabrexg 5761	. . . . . . 7 |- ( ( k e. K /\ ( k .x. X ) e. _V ) -> ( k .x. X ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
37	35, 36	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( k e. K /\ ( W e. LMod /\ X e. V ) ) -> ( k .x. X ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
38		elex2 2755	. . . . . 6 |- ( ( k .x. X ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> E. j j e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( k e. K /\ ( W e. LMod /\ X e. V ) ) -> E. j j e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
40	39	expcom 116	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( k e. K -> E. j j e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) )
41	24, 27, 40	exlimd 1597	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k k e. K -> E. j j e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) )
42	23, 41	mpd 13	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> E. j j e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
43		vex 2742	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
44		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = a -> ( v = ( k .x. X ) <-> a = ( k .x. X ) ) )
45	44	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = a -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K a = ( k .x. X ) ) )
46	43, 45	elab 2883	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K a = ( k .x. X ) )
47		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( k .x. X ) = ( y .x. X ) )
48	47	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( a = ( k .x. X ) <-> a = ( y .x. X ) ) )
49	48	cbvrexvw 2710	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. K a = ( k .x. X ) <-> E. y e. K a = ( y .x. X ) )
50	46, 49	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. y e. K a = ( y .x. X ) )
51		vex 2742	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
52		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = b -> ( v = ( k .x. X ) <-> b = ( k .x. X ) ) )
53	52	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = b -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K b = ( k .x. X ) ) )
54	51, 53	elab 2883	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K b = ( k .x. X ) )
55		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( k .x. X ) = ( z .x. X ) )
56	55	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> ( b = ( k .x. X ) <-> b = ( z .x. X ) ) )
57	56	cbvrexvw 2710	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. K b = ( k .x. X ) <-> E. z e. K b = ( z .x. X ) )
58	54, 57	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. z e. K b = ( z .x. X ) )
59	50, 58	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) <-> ( E. y e. K a = ( y .x. X ) /\ E. z e. K b = ( z .x. X ) ) )
60		reeanv 2647	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. K E. z e. K ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) <-> ( E. y e. K a = ( y .x. X ) /\ E. z e. K b = ( z .x. X ) ) )
61	59, 60	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) <-> E. y e. K E. z e. K ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) )
62		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> W e. LMod )
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> x e. K )
64		simprll 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> y e. K )
65		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
66	1, 3, 65	lmodmcl 13395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. K ) -> ( x ( .r ` F ) y ) e. K )
67	62, 63, 64, 66	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( x ( .r ` F ) y ) e. K )
68		simprlr 538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> z e. K )
69		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
70	1, 3, 69	lmodacl 13394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( x ( .r ` F ) y ) e. K /\ z e. K ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) e. K )
71	62, 67, 68, 70	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) e. K )
72		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> X e. V )
73		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
74	5, 73, 1, 8, 3, 69	lmodvsdir 13407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( x ( .r ` F ) y ) e. K /\ z e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
75	62, 67, 68, 72, 74	syl13anc 1240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
76	5, 1, 8, 3, 65	lmodvsass 13408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) )
77	62, 63, 64, 72, 76	syl13anc 1240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) )
78	77	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
79	75, 78	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) )
80		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) -> ( k .x. X ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) )
81	80	rspceeqv 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) e. K /\ ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) )
82	71, 79, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) )
83		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( y .x. X ) -> ( x .x. a ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) )
84		oveq12 5886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x .x. a ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
85	83, 84	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
86	85	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) <-> ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) ) )
87	86	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) <-> E. k e. K ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) ) )
88	82, 87	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
89	88	expr 375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( x e. K -> ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
90	89	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
91	90	rexlimdvva 2602	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. y e. K E. z e. K ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
92	61, 91	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
93	92	expcomd 1441	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) ) )
94	93	com24 87	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( x e. K -> ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) ) )
95	94	3imp2 1222	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( x e. K /\ a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) )
96		vex 2742	. . . . . . 7 |- x e. _V
97	43	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> a e. _V )
98		ovexg 5911	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ .x. e. _V /\ a e. _V ) -> ( x .x. a ) e. _V )
99	96, 31, 97, 98	mp3an2i 1342	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( x .x. a ) e. _V )
100		plusgslid 12573	. . . . . . 7 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
101	100	slotex 12491	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( +g ` W ) e. _V )
102	51	a1i 9	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> b e. _V )
103		ovexg 5911	. . . . . 6 |- ( ( ( x .x. a ) e. _V /\ ( +g ` W ) e. _V /\ b e. _V ) -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
104	99, 101, 102, 103	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
105		eqeq1 2184	. . . . . . 7 |- ( v = ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) -> ( v = ( k .x. X ) <-> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
106	105	rexbidv 2478	. . . . . 6 |- ( v = ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
107	106	elabg 2885	. . . . 5 |- ( ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. _V -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
108	104, 107	syl 14	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
109	108	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( x e. K /\ a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) ) -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
110	95, 109	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( x e. K /\ a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) ) -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
111		simpl 109	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
112	2, 4, 6, 7, 9, 11, 18, 42, 110, 111	islssmd 13451	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   .rcmulr 12539  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   0gc0g 12710   LModclmod 13382   LSubSpclss 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-mgp 13136  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448

This theorem is referenced by:  lspsn  13507