Theorem lmodfgrp 14260

Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	|- F = (Scalar ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodfgrp	|- ( W e. LMod -> F e. Grp )

Proof of Theorem lmodfgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodring.1	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodring 14259	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
3		ringgrp 13964	. 2 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
4	2, 3	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  Scalarcsca 13113   Grpcgrp 13533   Ringcrg 13959   LModclmod 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-ring 13961  df-lmod 14253

This theorem is referenced by:  lmodacl  14263  lmodsn0  14265  lmodvneg1  14294  lssvsubcl  14330  lspsnneg  14384