Theorem grpcl 13871

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13870	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndcl 13794	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1311	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13409   +g cplusg 13489   Mndcmnd 13787   Grpcgrp 13863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866

This theorem is used by:  grpcld  13877  grprcan  13900  grprinv  13914  grpressid  13924  grplmulf1o  13937  grpinvadd  13941  grpsubf  13942  grpsubadd  13951  grpaddsubass  13953  grpnpcan  13955  grpsubsub4  13956  grppnpcan2  13957  grplactcnv  13965  imasgrp  13972  mulgcl  14000  mulgaddcomlem  14006  mulgdir  14015  nmzsubg  14071  nsgid  14076  eqgcpbl  14089  qusgrp  14093  qusadd  14095  ecqusaddcl  14100  ghmrn  14118  idghm  14120  ghmnsgima  14129  ghmnsgpreima  14130  ghmf1o  14136  conjghm  14137  qusghm  14143  cntzsubg  14170  ablsub4  14206  abladdsub4  14207  invghm  14222  rngacl  14347  rngpropd  14360  ringacl  14441  lmodacl  14743  lmodvacl  14746  rmodislmod  14796  asclghm  15133