Theorem grpcl 13862

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13861	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndcl 13785	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1311	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   +g cplusg 13480   Mndcmnd 13778   Grpcgrp 13854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857

This theorem is used by:  grpcld  13868  grprcan  13891  grprinv  13905  grpressid  13915  grplmulf1o  13928  grpinvadd  13932  grpsubf  13933  grpsubadd  13942  grpaddsubass  13944  grpnpcan  13946  grpsubsub4  13947  grppnpcan2  13948  grplactcnv  13956  imasgrp  13963  mulgcl  13991  mulgaddcomlem  13997  mulgdir  14006  nmzsubg  14062  nsgid  14067  eqgcpbl  14080  qusgrp  14084  qusadd  14086  ecqusaddcl  14091  ghmrn  14109  idghm  14111  ghmnsgima  14120  ghmnsgpreima  14121  ghmf1o  14127  conjghm  14128  qusghm  14134  ablsub4  14166  abladdsub4  14167  invghm  14182  rngacl  14290  rngpropd  14303  ringacl  14384  lmodacl  14684  lmodvacl  14687  rmodislmod  14737  asclghm  15074