Theorem grpcl 13813

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13812	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndcl 13736	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1311	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   Mndcmnd 13729   Grpcgrp 13805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808

This theorem is used by:  grpcld  13819  grprcan  13842  grprinv  13856  grpressid  13866  grplmulf1o  13879  grpinvadd  13883  grpsubf  13884  grpsubadd  13893  grpaddsubass  13895  grpnpcan  13897  grpsubsub4  13898  grppnpcan2  13899  grplactcnv  13907  imasgrp  13914  mulgcl  13942  mulgaddcomlem  13948  mulgdir  13957  nmzsubg  14013  nsgid  14018  eqgcpbl  14031  qusgrp  14035  qusadd  14037  ecqusaddcl  14042  ghmrn  14060  idghm  14062  ghmnsgima  14071  ghmnsgpreima  14072  ghmf1o  14078  conjghm  14079  qusghm  14085  ablsub4  14117  abladdsub4  14118  invghm  14133  rngacl  14241  rngpropd  14254  ringacl  14335  lmodacl  14635  lmodvacl  14638  rmodislmod  14688  asclghm  15025