Theorem grpcl 13592

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13591	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndcl 13507	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1306	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13083   +g cplusg 13161   Mndcmnd 13500   Grpcgrp 13584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-plusg 13174  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-grp 13587

This theorem is referenced by:  grpcld  13598  grprcan  13621  grprinv  13635  grpressid  13645  grplmulf1o  13658  grpinvadd  13662  grpsubf  13663  grpsubadd  13672  grpaddsubass  13674  grpnpcan  13676  grpsubsub4  13677  grppnpcan2  13678  grplactcnv  13686  imasgrp  13699  mulgcl  13727  mulgaddcomlem  13733  mulgdir  13742  nmzsubg  13798  nsgid  13803  eqgcpbl  13816  qusgrp  13820  qusadd  13822  ecqusaddcl  13827  ghmrn  13845  idghm  13847  ghmnsgima  13856  ghmnsgpreima  13857  ghmf1o  13863  conjghm  13864  qusghm  13870  ablsub4  13901  abladdsub4  13902  invghm  13917  rngacl  13957  rngpropd  13970  ringacl  14045  lmodacl  14315  lmodvacl  14318  rmodislmod  14367